Номер 32.33, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.33, страница 127.

32.33 Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём $343\text{ м}^3$. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Для решения задачи введём переменные. Пусть сторона квадратного дна бака равна $a$ метров, а его высота равна $h$ метров.

Объём бака по условию составляет $343$ м³. Формула объёма для такого бака (прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием):

$V = a^2 \cdot h$

Из этого следует равенство:

$a^2 h = 343$

Отсюда можно выразить высоту $h$ через сторону основания $a$:

$h = \frac{343}{a^2}$

Количество материала, необходимое для изготовления бака, определяется площадью его полной поверхности. Поскольку бак закрытый, он имеет дно, крышку и четыре боковые стенки.

Площадь дна: $S_{дна} = a^2$
Площадь крышки: $S_{крышки} = a^2$
Площадь боковой поверхности (четыре прямоугольника со сторонами $a$ и $h$): $S_{бок} = 4ah$

Общая площадь поверхности $S$ равна:

$S = S_{дна} + S_{крышки} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$

Наша задача — найти такие размеры $a$ и $h$, при которых площадь $S$ будет минимальной. Для этого подставим в формулу для $S$ выражение для $h$, чтобы получить функцию одной переменной $a$:

$S(a) = 2a^2 + 4a \left(\frac{343}{a^2}\right) = 2a^2 + \frac{1372}{a}$

Для нахождения минимума функции $S(a)$ найдём её производную по $a$ и приравняем к нулю.

$S'(a) = (2a^2 + 1372a^{-1})' = 4a - 1372a^{-2} = 4a - \frac{1372}{a^2}$

Найдём критические точки, решив уравнение $S'(a) = 0$:

$4a - \frac{1372}{a^2} = 0$

$4a = \frac{1372}{a^2}$

$4a^3 = 1372$

$a^3 = \frac{1372}{4} = 343$

$a = \sqrt[3]{343} = 7$

Мы нашли одну критическую точку $a=7$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной:

$S''(a) = (4a - 1372a^{-2})' = 4 + 2 \cdot 1372a^{-3} = 4 + \frac{2744}{a^3}$

При $a=7$ значение второй производной положительно:

$S''(7) = 4 + \frac{2744}{7^3} = 4 + \frac{2744}{343} = 4 + 8 = 12 > 0$

Это означает, что при $a = 7$ м функция площади поверхности достигает своего минимума.

Теперь найдём соответствующую высоту $h$:

$h = \frac{343}{a^2} = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7$ м

Таким образом, наименьшее количество материала потребуется, если бак будет иметь форму куба со стороной 7 метров.

Ответ: наименьшее количество материала пойдёт на изготовление бака, если его размеры будут 7 м × 7 м × 7 м.