Номер 32.33, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции - номер 32.33, страница 127.

Условие.

32.33 Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём $343\text{ м}^3$. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи введём переменные. Пусть сторона квадратного дна бака равна $a$ метров, а его высота равна $h$ метров.

Объём бака по условию составляет $343$ м³. Формула объёма для такого бака (прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием):

$V = a^2 \cdot h$

Из этого следует равенство:

$a^2 h = 343$

Отсюда можно выразить высоту $h$ через сторону основания $a$:

$h = \frac{343}{a^2}$

Количество материала, необходимое для изготовления бака, определяется площадью его полной поверхности. Поскольку бак закрытый, он имеет дно, крышку и четыре боковые стенки.

Площадь дна: $S_{дна} = a^2$
Площадь крышки: $S_{крышки} = a^2$
Площадь боковой поверхности (четыре прямоугольника со сторонами $a$ и $h$): $S_{бок} = 4ah$

Общая площадь поверхности $S$ равна:

$S = S_{дна} + S_{крышки} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$

Наша задача — найти такие размеры $a$ и $h$, при которых площадь $S$ будет минимальной. Для этого подставим в формулу для $S$ выражение для $h$, чтобы получить функцию одной переменной $a$:

$S(a) = 2a^2 + 4a \left(\frac{343}{a^2}\right) = 2a^2 + \frac{1372}{a}$

Для нахождения минимума функции $S(a)$ найдём её производную по $a$ и приравняем к нулю.

$S'(a) = (2a^2 + 1372a^{-1})' = 4a - 1372a^{-2} = 4a - \frac{1372}{a^2}$

Найдём критические точки, решив уравнение $S'(a) = 0$:

$4a - \frac{1372}{a^2} = 0$

$4a = \frac{1372}{a^2}$

$4a^3 = 1372$

$a^3 = \frac{1372}{4} = 343$

$a = \sqrt[3]{343} = 7$

Мы нашли одну критическую точку $a=7$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной:

$S''(a) = (4a - 1372a^{-2})' = 4 + 2 \cdot 1372a^{-3} = 4 + \frac{2744}{a^3}$

При $a=7$ значение второй производной положительно:

$S''(7) = 4 + \frac{2744}{7^3} = 4 + \frac{2744}{343} = 4 + 8 = 12 > 0$

Это означает, что при $a = 7$ м функция площади поверхности достигает своего минимума.

Теперь найдём соответствующую высоту $h$:

$h = \frac{343}{a^2} = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7$ м

Таким образом, наименьшее количество материала потребуется, если бак будет иметь форму куба со стороной 7 метров.

Ответ: наименьшее количество материала пойдёт на изготовление бака, если его размеры будут 7 м × 7 м × 7 м.