Номер 32.38, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.38, страница 127.

32.38 У пятиугольника $ABCDE$ углы $A$, $B$ и $E$ — прямые, $AB = a$, $BC = b$, $AE = c$, $DE = m$. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади и вычислите эту площадь, если:

а) $a = 7, b = 9, c = 3, m = 5$;

б) $a = 7, b = 18, c = 3, m = 1$.

Для решения задачи разместим пятиугольник $ABCDE$ в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0)$, а сторона $AB$ лежит на оси $Ox$. Учитывая, что углы $A$, $B$ и $E$ прямые, координаты вершин будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $B(a, 0)$ (т.к. $AB=a$ и $\angle A=90^\circ$)
• $E(0, c)$ (т.к. $AE=c$ и $\angle A=90^\circ$)
• $C(a, b)$ (т.к. $BC=b$ и $\angle B=90^\circ$)
• $D(m, c)$ (т.к. $DE=m$ и $\angle E=90^\circ$)

Искомый прямоугольник должен быть вписан в этот пятиугольник. Для достижения максимальной площади стороны прямоугольника должны быть параллельны осям координат. Пусть его вершины $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_1, y_2)$.

Пятиугольник ограничен осями координат ($x \ge 0, y \ge 0$), прямой $x=a$ и верхней границей, состоящей из отрезков $ED$ и $DC$. Опишем эту верхнюю границу как функцию $y=f(x)$ для $x \in [0, a]$.

Уравнение прямой, проходящей через точки $C(a,b)$ и $D(m,c)$, имеет вид: $y - c = \frac{b-c}{a-m}(x-m)$.

Таким образом, верхняя граница $f(x)$ задается кусочно (при условии $a>m$):

$f(x) = \begin{cases} c & \text{если } 0 \le x \le m \\ \frac{b-c}{a-m}(x-m)+c & \text{если } m < x \le a \end{cases}$

Прямоугольник максимальной площади, вписанный под график функции, будет иметь одну из сторон на оси $Ox$. Это связано с тем, что для любого вписанного прямоугольника $[x_1, x_2] \times [y_1, y_2]$ можно увеличить его высоту (и, следовательно, площадь), опустив его нижнюю сторону до $y_1=0$, не нарушая при этом условия вписанности.

Итак, мы ищем максимум площади $S = (x_2 - x_1)y_2$, где $y_2 \le \min_{x \in [x_1, x_2]} f(x)$. Для максимизации площади следует взять $y_2 = \min_{x \in [x_1, x_2]} f(x)$.

В обоих случаях, рассматриваемых в задаче, $a > m$ и $b > c$, поэтому наклон отрезка $DC$ $k = \frac{b-c}{a-m}$ положителен. Это означает, что функция $f(x)$ является неубывающей на всем отрезке $[0, a]$.

Для неубывающей функции $f(x)$, минимум на отрезке $[x_1, x_2]$ достигается в левой точке: $\min_{x \in [x_1, x_2]} f(x) = f(x_1)$.

Тогда площадь прямоугольника равна $S(x_1, x_2) = (x_2 - x_1)f(x_1)$. При фиксированном $x_1$ эта площадь максимальна, когда $x_2$ максимально, то есть $x_2=a$.

Следовательно, задача сводится к нахождению максимума функции одной переменной $S(x) = (a-x)f(x)$ на отрезке $[0, a]$, где $x$ — это левая граница прямоугольника.

а)

Дано: $a = 7, b = 9, c = 3, m = 5$.

Вершины пятиугольника: $A(0,0), B(7,0), C(7,9), D(5,3), E(0,3)$.

Так как $a=7 > m=5$ и $b=9 > c=3$, то, как и было обосновано выше, мы ищем максимум функции $S(x) = (7-x)f(x)$ на отрезке $[0, 7]$.

Найдем функцию $f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} 3 & \text{если } 0 \le x \le 5 \\ \frac{9-3}{7-5}(x-5)+3 = 3(x-5)+3 = 3x-12 & \text{если } 5 < x \le 7 \end{cases}$

Рассмотрим функцию площади $S(x)$ на двух участках:

1. При $x \in [0, 5]$:

   $S(x) = (7-x) \cdot 3 = 21 - 3x$.

   Это линейная убывающая функция. Ее максимум на отрезке $[0, 5]$ достигается в точке $x=0$.

   $S(0) = 21 - 3 \cdot 0 = 21$.

   Этот максимум соответствует прямоугольнику с левой стороной при $x=0$ и правой при $x=7$, высотой $f(0)=3$. Его вершины: $(0,0), (7,0), (7,3), (0,3)$. Площадь $7 \times 3 = 21$.

2. При $x \in (5, 7]$:

   $S(x) = (7-x)(3x-12) = -3x^2 + 21x + 12x - 84 = -3x^2 + 33x - 84$.

   Это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине $x_v = -\frac{33}{2(-3)} = \frac{33}{6} = 5.5$.

   Так как $5.5 \in (5, 7]$, то максимальное значение на этом участке равно $S(5.5)$.

   $S(5.5) = (7-5.5)(3 \cdot 5.5 - 12) = 1.5 \cdot (16.5 - 12) = 1.5 \cdot 4.5 = 6.75$.

Сравнивая максимальные значения на двух участках ($21$ и $6.75$), выбираем наибольшее. Наибольшая площадь равна $21$.

Ответ: Прямоугольник наибольшей площади имеет вершины в точках $(0,0), (7,0), (7,3), (0,3)$, его площадь равна 21.

б)

Дано: $a = 7, b = 18, c = 3, m = 1$.

Вершины пятиугольника: $A(0,0), B(7,0), C(7,18), D(1,3), E(0,3)$.

Так как $a=7 > m=1$ и $b=18 > c=3$, мы снова ищем максимум функции $S(x) = (7-x)f(x)$ на отрезке $[0, 7]$.

Найдем функцию $f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} 3 & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ \frac{18-3}{7-1}(x-1)+3 = \frac{15}{6}(x-1)+3 = 2.5(x-1)+3 = 2.5x+0.5 & \text{если } 1 < x \le 7 \end{cases}$

Рассмотрим функцию площади $S(x)$ на двух участках:

1. При $x \in [0, 1]$:

   $S(x) = (7-x) \cdot 3 = 21 - 3x$.

   Это линейная убывающая функция. Ее максимум на отрезке $[0, 1]$ достигается в точке $x=0$.

   $S(0) = 21 - 3 \cdot 0 = 21$.

   Этот максимум соответствует прямоугольнику с вершинами $(0,0), (7,0), (7,3), (0,3)$. Его площадь $7 \times 3 = 21$.

2. При $x \in (1, 7]$:

   $S(x) = (7-x)(2.5x+0.5) = -2.5x^2 -0.5x + 17.5x + 3.5 = -2.5x^2 + 17x + 3.5$.

   Это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине $x_v = -\frac{17}{2(-2.5)} = \frac{17}{5} = 3.4$.

   Так как $3.4 \in (1, 7]$, то максимальное значение на этом участке равно $S(3.4)$.

   $S(3.4) = (7-3.4)(2.5 \cdot 3.4 + 0.5) = 3.6 \cdot (8.5 + 0.5) = 3.6 \cdot 9 = 32.4$.

   Этот максимум соответствует прямоугольнику с левой стороной при $x=3.4$ и правой при $x=7$, высотой $f(3.4) = 2.5 \cdot 3.4 + 0.5 = 9$. Его вершины: $(3.4, 0), (7, 0), (7, 9), (3.4, 9)$. Площадь $3.6 \times 9 = 32.4$.

Сравнивая максимальные значения на двух участках ($21$ и $32.4$), выбираем наибольшее. Наибольшая площадь равна $32.4$.

Ответ: Прямоугольник наибольшей площади имеет вершины в точках $(3.4, 0), (7, 0), (7, 9), (3.4, 9)$, его площадь равна 32.4.