Номер 32.37, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.37, страница 127.

32.37 Из прямоугольной трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если:

а) $a = 80, b = 60, h = 100;$

б) $a = 24, b = 8, h = 12?$

Для решения задачи о нахождении прямоугольника наибольшей площади, который можно вырезать из прямоугольной трапеции, введём систему координат. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а высота — $h$. Для определённости предположим, что $a$ — это большее основание ($a > b$). Расположим трапецию так, чтобы её вершины имели координаты $A(0,0)$, $B(0,h)$, $C(b,h)$ и $D(a,0)$. Таким образом, высота трапеции совпадает с отрезком оси $Oy$, а большее основание лежит на оси $Ox$.

Прямоугольник, вырезанный из трапеции, будет иметь стороны, параллельные её основаниям и высоте. Рассмотрим прямоугольник, у которого одна вершина находится в начале координат $(0,0)$, а противолежащая ей вершина $(x,y)$ лежит на наклонной стороне $CD$. Площадь такого прямоугольника $S$ будет равна $xy$. Чтобы площадь была максимальной, вершина $(x,y)$ должна лежать на границе, то есть на отрезке $CD$.

Найдём уравнение прямой, содержащей сторону $CD$. Она проходит через точки $C(b,h)$ и $D(a,0)$. Уравнение прямой имеет вид: $y - 0 = \frac{h - 0}{b - a}(x - a)$, что можно переписать как $y = \frac{h}{a - b}(a - x)$.

Теперь площадь прямоугольника можно выразить как функцию его ширины $x$: $S(x) = x \cdot y = x \cdot \frac{h}{a - b}(a - x) = \frac{h}{a - b}(-x^2 + ax)$.

Эта функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v$ для функции вида $f(x)=Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x_v = -B/(2A)$. В нашем случае $A = -1$ и $B = a$ (если вынести константу $\frac{h}{a-b}$ за скобки), поэтому $x_{max} = \frac{-a}{2(-1)} = \frac{a}{2}$.

При такой ширине $x = a/2$ высота прямоугольника $y$ составит: $y = \frac{h}{a - b}\left(a - \frac{a}{2}\right) = \frac{h}{a - b} \cdot \frac{a}{2} = \frac{ah}{2(a - b)}$.

Однако, высота вписанного прямоугольника не может превышать высоту трапеции $h$. Необходимо проверить условие $y \le h$.

Случай 1: $a \ge 2b$.
В этом случае выполняется неравенство $\frac{a}{2(a-b)} \le 1$, а значит, и $y = \frac{ah}{2(a - b)} \le h$. Следовательно, найденные размеры $x = a/2$ и $y = \frac{ah}{2(a-b)}$ являются оптимальными и допустимыми. Максимальная площадь равна: $S_{max} = x \cdot y = \frac{a}{2} \cdot \frac{ah}{2(a - b)} = \frac{a^2h}{4(a - b)}$.

Случай 2: $a < 2b$.
В этом случае $\frac{a}{2(a-b)} > 1$, что означает $y > h$. Это решение недопустимо, так как прямоугольник выходит за пределы трапеции по высоте. На допустимом интервале изменения высоты $y \in [0, h]$ функция площади $S(y)$ будет возрастающей. Следовательно, максимальная площадь достигается при максимально возможной высоте, то есть $y=h$. Найдем ширину $x$ для $y=h$ из уравнения прямой $CD$: $h = \frac{h}{a-b}(a-x) \Rightarrow a-b = a-x \Rightarrow x = b$. Таким образом, максимальный по площади прямоугольник — это прямоугольная часть самой трапеции, его размеры $b \times h$ и площадь $S_{max} = b \cdot h$.

Теперь применим эти выводы к конкретным данным из задачи. Обозначим большее основание как $a_{long}$, а меньшее — как $a_{short}$.

а) Дано: $a = 80, b = 60, h = 100$.

Здесь $a_{long} = 80$, $a_{short} = 60$. Проверим условие: $a_{long}$ по сравнению с $2 \cdot a_{short}$. $80 < 2 \cdot 60$, то есть $80 < 120$. Это соответствует Случаю 2. Следовательно, максимальная площадь равна: $S = a_{short} \cdot h = 60 \cdot 100 = 6000$.

Ответ: $6000$.

б) Дано: $a = 24, b = 8, h = 12$.

Здесь $a_{long} = 24$, $a_{short} = 8$. Проверим условие: $a_{long}$ по сравнению с $2 \cdot a_{short}$. $24 > 2 \cdot 8$, то есть $24 > 16$. Это соответствует Случаю 1. Следовательно, максимальная площадь вычисляется по формуле: $S = \frac{a_{long}^2 h}{4(a_{long} - a_{short})} = \frac{24^2 \cdot 12}{4(24 - 8)} = \frac{576 \cdot 12}{4 \cdot 16} = \frac{576 \cdot 12}{64}$. Разделив $576$ на $64$, получим $9$. $S = 9 \cdot 12 = 108$.

Ответ: $108$.