Номер 33.2, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §33. Понятие корня n-й степени из действительного числа - номер 33.2, страница 129.

Условие.

33.2 Докажите, что верно равенство:

а) $\sqrt{361} = 19;$

б) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2};$

в) $\sqrt[3]{343} = 7;$

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt{361} = 19$, необходимо, согласно определению арифметического квадратного корня, проверить два условия:
1. Число $19$ является неотрицательным: $19 \ge 0$. Это верно.
2. Квадрат числа $19$ равен подкоренному выражению $361$. Проверим это: $19^2 = 19 \times 19 = 361$. Это также верно.
Поскольку оба условия определения выполняются, равенство является верным.
Ответ: Равенство верно.

б) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$, необходимо, согласно определению арифметического корня n-ой степени, проверить два условия:
1. Число $\frac{1}{2}$ является неотрицательным: $\frac{1}{2} \ge 0$. Это верно.
2. Шестая степень числа $\frac{1}{2}$ равна подкоренному выражению $\frac{1}{64}$. Проверим это: $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$. Это также верно.
Поскольку оба условия определения выполняются, равенство является верным.
Ответ: Равенство верно.

в) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[3]{343} = 7$, необходимо, согласно определению арифметического корня n-ой степени, проверить два условия:
1. Число $7$ является неотрицательным (так как подкоренное выражение положительно): $7 \ge 0$. Это верно.
2. Куб числа $7$ равен подкоренному выражению $343$. Проверим это: $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$. Это также верно.
Поскольку оба условия определения выполняются, равенство является верным.
Ответ: Равенство верно.

г) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$, необходимо, согласно определению арифметического корня n-ой степени, проверить два условия:
1. Число $\frac{2}{3}$ является неотрицательным (так как подкоренное выражение положительно): $\frac{2}{3} \ge 0$. Это верно.
2. Пятая степень числа $\frac{2}{3}$ равна подкоренному выражению $\frac{32}{243}$. Проверим это: $(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$. Это также верно.
Поскольку оба условия определения выполняются, равенство является верным.
Ответ: Равенство верно.