Номер 32.31, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.31, страница 127.

32.31 На графике функции $y = \sqrt{x}$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A (4,5; 0)$.

Пусть точка $M$ на графике функции $y = \sqrt{x}$ имеет координаты $(x; y)$, где $y = \sqrt{x}$. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать как $(x; \sqrt{x})$. Заметим, что область определения функции $y = \sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

Координаты данной точки $A$ равны $(4,5; 0)$.

Квадрат расстояния $d^2$ между точками $A(x_A; y_A)$ и $M(x_M; y_M)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2$

Подставим координаты точек $A$ и $M$ в эту формулу: $d^2(x) = (x - 4,5)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2 = (x - 4,5)^2 + x$

Задача сводится к нахождению такого значения $x$, при котором расстояние $d(x)$ будет минимальным. Минимизация расстояния $d(x)$ эквивалентна минимизации его квадрата $d^2(x)$, что позволяет избежать работы с квадратным корнем и упрощает вычисления. Обозначим функцию квадрата расстояния через $f(x)$: $f(x) = (x - 4,5)^2 + x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $f(x) = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4,5 + (4,5)^2 + x = x^2 - 9x + 20,25 + x = x^2 - 8x + 20,25$

Чтобы найти точку минимума, найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$: $f'(x) = (x^2 - 8x + 20,25)' = 2x - 8$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(x) = 0$ $2x - 8 = 0$ $2x = 8$ $x = 4$

Это значение $x=4$ принадлежит области определения функции ($4 \ge 0$). Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак второй производной: $f''(x) = (2x - 8)' = 2$

Так как $f''(x) = 2 > 0$, функция $f(x)$ имеет в точке $x=4$ минимум.

Теперь, зная абсциссу точки $M$, найдем ее ординату, подставив $x=4$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$: $y = \sqrt{4} = 2$

Следовательно, искомая точка $M$ на графике функции, ближайшая к точке $A$, имеет координаты $(4; 2)$.

Ответ: $M(4; 2)$.