Номер 32.24, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.24, страница 126.

32.24 Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

Пусть первое и второе положительные слагаемые равны $x$ и $y$ соответственно. Согласно условию задачи, их сумма равна 5. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 5$

Так как слагаемые положительные, должны выполняться неравенства $x > 0$ и $y > 0$.

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим. Составим функцию, которую нужно максимизировать:

$P = x \cdot y^3$

Для того чтобы найти максимум этой функции, выразим одну переменную через другую, используя уравнение связи $x + y = 5$. Выразим $x$:

$x = 5 - y$

Теперь подставим это выражение в функцию $P$:

$P(y) = (5 - y)y^3 = 5y^3 - y^4$

Мы получили функцию одной переменной $y$. Найдем область определения этой функции. Так как $y > 0$ и $x > 0$, то $5 - y > 0$, что означает $y < 5$. Следовательно, мы ищем максимум функции $P(y)$ на интервале $(0, 5)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(y)$ по переменной $y$:

$P'(y) = (5y^3 - y^4)' = 15y^2 - 4y^3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$15y^2 - 4y^3 = 0$

Вынесем общий множитель $y^2$ за скобки:

$y^2(15 - 4y) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $y = 0$ и $15 - 4y = 0$.

Первое решение $y = 0$ не входит в наш интервал $(0, 5)$, так как слагаемые должны быть положительными.

Решим второе уравнение:

$15 - 4y = 0 \implies 4y = 15 \implies y = \frac{15}{4}$

Значение $y = \frac{15}{4} = 3.75$ принадлежит интервалу $(0, 5)$, поэтому это единственная критическая точка в рассматриваемой области.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, исследуем знак производной $P'(y) = y^2(15 - 4y)$ слева и справа от точки $y = \frac{15}{4}$.

• При $0 < y < \frac{15}{4}$, множитель $(15 - 4y)$ положителен, $y^2$ тоже положителен, значит $P'(y) > 0$. Функция $P(y)$ на этом интервале возрастает.
• При $y > \frac{15}{4}$ (и $y < 5$), множитель $(15 - 4y)$ отрицателен, $y^2$ положителен, значит $P'(y) < 0$. Функция $P(y)$ на этом интервале убывает.

Поскольку при переходе через точку $y = \frac{15}{4}$ знак производной меняется с «+» на «−», эта точка является точкой максимума.

Теперь найдем соответствующее значение первого слагаемого $x$:

$x = 5 - y = 5 - \frac{15}{4} = \frac{20}{4} - \frac{15}{4} = \frac{5}{4}$

Таким образом, число 5 нужно представить в виде суммы двух слагаемых: $\frac{5}{4}$ (первое слагаемое) и $\frac{15}{4}$ (второе слагаемое).

Ответ: $5 = \frac{5}{4} + \frac{15}{4}$.