Номер 32.20, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.20, страница 126.

32.20 Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

Обозначим два искомых целых числа как $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 24, что можно записать в виде уравнения: $x + y = 24$.

Нам нужно найти такие целые $x$ и $y$, чтобы их произведение $P = x \cdot y$ было максимальным.

Выразим переменную $y$ из уравнения суммы: $y = 24 - x$.

Подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию, зависящую от одной переменной $x$:
$P(x) = x \cdot (24 - x) = 24x - x^2$.

Функция $P(x) = -x^2 + 24x$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен, $a = -1$). Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $P(x)$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 24$. Найдем координату $x$ вершины: $x_0 = -\frac{24}{2 \cdot (-1)} = -\frac{24}{-2} = 12$.

Значение $x=12$ является целым числом, что соответствует условию задачи. Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = 24 - x = 24 - 12 = 12$.

Таким образом, два искомых числа — это 12 и 12. Проверим: их сумма $12 + 12 = 24$, а их произведение $12 \cdot 12 = 144$ является максимальным. Любая другая пара целых чисел, дающая в сумме 24 (например, 11 и 13, или 10 и 14), даст меньшее произведение (143, 140 и т.д.).

Ответ: 12 и 12.