Номер 32.20, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции - номер 32.20, страница 126.

Условие.

32.20 Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим два искомых целых числа как $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 24, что можно записать в виде уравнения: $x + y = 24$.

Нам нужно найти такие целые $x$ и $y$, чтобы их произведение $P = x \cdot y$ было максимальным.

Выразим переменную $y$ из уравнения суммы: $y = 24 - x$.

Подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию, зависящую от одной переменной $x$:
$P(x) = x \cdot (24 - x) = 24x - x^2$.

Функция $P(x) = -x^2 + 24x$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен, $a = -1$). Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $P(x)$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 24$. Найдем координату $x$ вершины: $x_0 = -\frac{24}{2 \cdot (-1)} = -\frac{24}{-2} = 12$.

Значение $x=12$ является целым числом, что соответствует условию задачи. Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = 24 - x = 24 - 12 = 12$.

Таким образом, два искомых числа — это 12 и 12. Проверим: их сумма $12 + 12 = 24$, а их произведение $12 \cdot 12 = 144$ является максимальным. Любая другая пара целых чисел, дающая в сумме 24 (например, 11 и 13, или 10 и 14), даст меньшее произведение (143, 140 и т.д.).

Ответ: 12 и 12.