Номер 32.12, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.12, страница 125.

32.12 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x + \frac{4}{x-1}$ на отрезке:

а) [2; 4];

б) [-2; 0].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в тех критических точках, которые ему принадлежат. Затем из всех полученных значений выбрать самое большое и самое маленькое.

Дана функция: $y = x + \frac{4}{x-1}$.

Сначала найдем ее производную:

$y'(x) = \left(x + \frac{4}{x-1}\right)' = (x)' + \left(4(x-1)^{-1}\right)' = 1 + 4(-1)(x-1)^{-2} = 1 - \frac{4}{(x-1)^2}$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная не существует в точке $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции.

$y'(x) = 0 \implies 1 - \frac{4}{(x-1)^2} = 0$

$(x-1)^2 = 4$

Отсюда получаем две критические точки:

$x-1 = 2 \implies x_1 = 3$

$x-1 = -2 \implies x_2 = -1$

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[2; 4]$.

Внутри этого отрезка лежит одна критическая точка: $x=3$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка, в точках $x=2$ и $x=4$:

$y(2) = 2 + \frac{4}{2-1} = 2 + 4 = 6$.

$y(3) = 3 + \frac{4}{3-1} = 3 + \frac{4}{2} = 5$.

$y(4) = 4 + \frac{4}{4-1} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.

Среди значений $\{6, 5, 5\frac{1}{3}\}$ наибольшее равно 6, а наименьшее равно 5.

Ответ: $y_{наиб}=6$, $y_{наим}=5$.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 0]$.

Внутри этого отрезка лежит одна критическая точка: $x=-1$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка, в точках $x=-2$ и $x=0$:

$y(-2) = -2 + \frac{4}{-2-1} = -2 - \frac{4}{3} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$.

$y(-1) = -1 + \frac{4}{-1-1} = -1 - 2 = -3$.

$y(0) = 0 + \frac{4}{0-1} = -4$.

Среди значений $\{-3\frac{1}{3}, -3, -4\}$ наибольшее равно -3, а наименьшее равно -4.

Ответ: $y_{наиб}=-3$, $y_{наим}=-4$.