Номер 32.7, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.7, страница 124.

32.7 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin x$ на отрезке:

a) $[0; \frac{2\pi}{3}]$

б) $[2\pi; \frac{8\pi}{3}]$

в) $[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$

г) $[6\pi; \frac{26\pi}{3}]$

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \frac{2\pi}{3}]$, выполним следующие шаги:

1. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(0) = \sin(0) = 0$
$y(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем критические точки функции. Производная функции $y' = (\sin x)' = \cos x$. Приравняем ее к нулю, чтобы найти стационарные точки: $\cos x = 0$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

3. Определим, какие из этих критических точек попадают в заданный отрезок $[0; \frac{2\pi}{3}]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит отрезку, так как $0 \le \frac{\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3}$.
При других целых значениях $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) точки $x = \frac{3\pi}{2}$ и $x = -\frac{\pi}{2}$ не принадлежат данному отрезку.

4. Вычислим значение функции в найденной критической точке:
$y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

5. Сравним все полученные значения: $0$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $1$.
Наименьшее из этих значений равно $0$, а наибольшее равно $1$.
Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб} = 1$.

б) Для отрезка $[2\pi; \frac{8\pi}{3}]$:

Функция $y = \sin x$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что $ \sin(x+2\pi) = \sin x $.
Значения функции на отрезке $[2\pi; \frac{8\pi}{3}]$ будут такими же, как на отрезке $[2\pi - 2\pi; \frac{8\pi}{3} - 2\pi]$, то есть на отрезке $[0; \frac{2\pi}{3}]$.
Эта задача сводится к предыдущей.

Проведем вычисления для проверки:
1. Значения на концах отрезка:
$y(2\pi) = \sin(2\pi) = 0$
$y(\frac{8\pi}{3}) = \sin(\frac{8\pi}{3}) = \sin(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. Критические точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Ищем те, что лежат в отрезке $[2\pi; \frac{8\pi}{3}]$.
$2\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{8\pi}{3} \implies 2 \le \frac{1}{2} + k \le \frac{8}{3} \implies 1.5 \le k \le \frac{13}{6} \approx 2.17$.
Единственное целое $k$ в этом диапазоне — это $k=2$.
Критическая точка: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$.
3. Значение функции в этой точке:
$y(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
4. Сравнивая значения $0$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $1$, получаем тот же результат.
Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб} = 1$.

в) Для отрезка $[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$:

Используем периодичность функции $y=\sin x$. Сдвинем отрезок на $2\pi$ вправо (добавим $2\pi$ к концам):
$[-2\pi+2\pi; -\frac{4\pi}{3}+2\pi] = [0; \frac{2\pi}{3}]$.
Эта задача также сводится к пункту а).

Проверка вычислением:
1. Значения на концах отрезка:
$y(-2\pi) = \sin(-2\pi) = 0$
$y(-\frac{4\pi}{3}) = \sin(-\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{4\pi}{3}) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. Критические точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Ищем те, что лежат в отрезке $[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$.
$-2\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le -\frac{4\pi}{3} \implies -2 \le \frac{1}{2} + k \le -\frac{4}{3} \implies -2.5 \le k \le -\frac{11}{6} \approx -1.83$.
Единственное целое $k$ в этом диапазоне — это $k=-2$.
Критическая точка: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
3. Значение функции в этой точке:
$y(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.
4. Сравнивая значения $0$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $1$, получаем тот же результат.
Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб} = 1$.

г) Для отрезка $[6\pi; \frac{26\pi}{3}]$:

Воспользуемся периодичностью функции $y = \sin x$. Сдвинем отрезок на $6\pi$ влево (вычтем $6\pi$ из концов):
$[6\pi - 6\pi; \frac{26\pi}{3} - 6\pi] = [0; \frac{26\pi - 18\pi}{3}] = [0; \frac{8\pi}{3}]$.
Длина полученного отрезка равна $\frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$, что больше полного периода $2\pi$. Это означает, что функция $\sin x$ на этом отрезке примет все свои возможные значения. Следовательно, наименьшее значение будет $-1$, а наибольшее $1$.

Проверим это вычислением:
1. Значения на концах отрезка:
$y(6\pi) = \sin(6\pi) = 0$
$y(\frac{26\pi}{3}) = \sin(\frac{26\pi}{3}) = \sin(8\pi + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. Критические точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Ищем те, что лежат в отрезке $[6\pi; \frac{26\pi}{3}]$.
$6\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{26\pi}{3} \implies 6 \le \frac{1}{2} + k \le \frac{26}{3} \implies 5.5 \le k \le \frac{49}{6} \approx 8.17$.
Целые значения $k$ в этом диапазоне: $k=6, 7, 8$.
Критические точки: $x_1 = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{13\pi}{2}$, $x_2 = \frac{\pi}{2} + 7\pi = \frac{15\pi}{2}$, $x_3 = \frac{\pi}{2} + 8\pi = \frac{17\pi}{2}$.
3. Значения функции в этих точках:
$y(\frac{13\pi}{2}) = \sin(6\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$y(\frac{15\pi}{2}) = \sin(6\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
$y(\frac{17\pi}{2}) = \sin(8\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
4. Сравниваем все полученные значения: $0$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$ и $-1$.
Наименьшее значение равно $-1$, наибольшее равно $1$.
Ответ: $y_{наим} = -1$, $y_{наиб} = 1$.