Номер 32.2, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.2, страница 123.

32.2 a) $y = 2 \sin x, [-\frac{\pi}{2}; \pi]$

б) $y = -2 \cos x, [-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$

В) $y = 6 \cos x, [-\frac{\pi}{2}; 0]$

Г) $y = -0.5 \sin x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

а)

Найдем область значений функции $y = 2 \sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Для нахождения области значений функции $y$ на заданном отрезке, сначала определим область значений для функции $\sin x$ на этом же отрезке.
На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $\sin x$ сначала возрастает от $x = -\frac{\pi}{2}$ до $x = \frac{\pi}{2}$, а затем убывает от $x = \frac{\pi}{2}$ до $x = \pi$.
Найдем значения на концах отрезка и в точке максимума:
$ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $
$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $
$ \sin(\pi) = 0 $
Следовательно, наименьшее значение $\sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ равно -1, а наибольшее равно 1. Таким образом, область значений $\sin x$ на данном отрезке есть $[-1; 1]$.

Так как $y = 2 \sin x$, то область значений функции $y$ получается умножением границ отрезка $[-1; 1]$ на 2:
Наименьшее значение: $y_{min} = 2 \cdot (-1) = -2$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 2 \cdot 1 = 2$.
Таким образом, область значений функции $y$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ есть $[-2; 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2; 2]$.

б)

Найдем область значений функции $y = -2 \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$.

Сначала определим область значений для функции $\cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$.
На этом отрезке функция $\cos x$ сначала убывает от $x = -2\pi$ до $x = -\pi$, а затем возрастает от $x = -\pi$ до $x = -\frac{\pi}{2}$.
Найдем значения на концах отрезка и в точке минимума:
$ \cos(-2\pi) = 1 $
$ \cos(-\pi) = -1 $
$ \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 $
Следовательно, наименьшее значение $\cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ равно -1, а наибольшее равно 1. Таким образом, область значений $\cos x$ на данном отрезке есть $[-1; 1]$.

Так как $y = -2 \cos x$, то область значений функции $y$ получается умножением границ отрезка $[-1; 1]$ на -2. При умножении на отрицательное число неравенство меняет знак, поэтому наименьшее значение становится наибольшим, и наоборот.
Наименьшее значение: $y_{min} = -2 \cdot 1 = -2$.
Наибольшее значение: $y_{max} = -2 \cdot (-1) = 2$.
Таким образом, область значений функции $y$ на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ есть $[-2; 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2; 2]$.

в)

Найдем область значений функции $y = 6 \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ функция $\cos x$ монотонно возрастает.
Следовательно, ее наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
Наибольшее значение: $\cos(0) = 1$.
Область значений для $\cos x$ на данном отрезке есть $[0; 1]$.

Так как $y = 6 \cos x$, умножим границы отрезка $[0; 1]$ на 6:
Наименьшее значение: $y_{min} = 6 \cdot 0 = 0$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 6 \cdot 1 = 6$.
Таким образом, область значений функции $y$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ есть $[0; 6]$.

Ответ: $E(y) = [0; 6]$.

г)

Найдем область значений функции $y = -0,5 \sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin x$ монотонно возрастает.
Следовательно, ее наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Наибольшее значение: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Область значений для $\sin x$ на данном отрезке есть $[-1; 1]$.

Так как $y = -0,5 \sin x$, умножим границы отрезка $[-1; 1]$ на -0,5. При умножении на отрицательное число неравенство меняет знак.
Наименьшее значение: $y_{min} = -0,5 \cdot 1 = -0,5$.
Наибольшее значение: $y_{max} = -0,5 \cdot (-1) = 0,5$.
Таким образом, область значений функции $y$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ есть $[-0,5; 0,5]$.

Ответ: $E(y) = [-0,5; 0,5]$.