Номер 31.14, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.14, страница 122.

31.14 a) Постройте график функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ не имеет корней?

а)

Для построения графика функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ проведем ее полное исследование.

Симметрия. Проверим функцию на четность: $y(-x) = -(-x)^4 + 2(-x)^2 + 8 = -x^4 + 2x^2 + 8 = y(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Анализ с помощью замены переменной. Это биквадратная функция. Введем замену $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. Функция принимает вид $y(t) = -t^2 + 2t + 8$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз.

Экстремумы функции. Найдем вершину параболы $y(t)$. Абсцисса вершины: $t_{\text{верш}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$. Ордината вершины: $y_{\text{верш}} = -(1)^2 + 2(1) + 8 = 9$. Вершина параболы находится в точке $(1, 9)$. Так как $t=1 \ge 0$, это значение является максимальным для функции $y(t)$. Вернемся к переменной $x$: $x^2 = t = 1$, откуда $x = \pm 1$. Таким образом, исходная функция $y(x)$ имеет две точки максимума: $(-1, 9)$ и $(1, 9)$. Это глобальные максимумы функции.

Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = -0^4 + 2(0)^2 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$. Эта точка является локальным минимумом, так как находится между двумя максимумами.
Пересечение с осью OX: при $y=0$, получаем $-x^4 + 2x^2 + 8 = 0$. После замены $t=x^2$ имеем $-t^2 + 2t + 8 = 0$, или $t^2 - 2t - 8 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t_1 = 4$. Возвращаемся к $x$: $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$. Точки пересечения с осью OX (нули функции): $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Поведение на бесконечности. Так как старший член функции $-x^4$, то при $x \to \pm\infty$, $y \to -\infty$.

Построение графика. На основе найденных точек — максимумы $(-1, 9)$ и $(1, 9)$, локальный минимум $(0, 8)$ и нули $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ — строим эскиз графика. График поднимается от $-\infty$, достигает максимума в $(-1, 9)$, опускается к локальному минимуму $(0, 8)$, снова поднимается к максимуму в $(1, 9)$ и уходит к $-\infty$.

Ответ: График функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ — это симметричная относительно оси OY кривая, имеющая два максимума в точках $(-1, 9)$ и $(1, 9)$, локальный минимум в точке $(0, 8)$ и пересекающая ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

б)

Рассмотрим уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$. Число решений этого уравнения равно числу точек пересечения графика функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ и горизонтальной прямой $y = a$.

В пункте а) было установлено, что наибольшее (максимальное) значение функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ равно 9. Это значение достигается в точках $x=-1$ и $x=1$.

Уравнение не будет иметь корней, если прямая $y=a$ не будет пересекать график функции. Это возможно только в том случае, если прямая будет проходить выше любой точки графика. То есть значение $a$ должно быть больше максимального значения функции.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $a > 9$.

Ответ: $a > 9$.