Номер 31.10, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.10, страница 122.

31.10 a) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{-2}{x^2 + 4}$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{1}{x^2 + 1}$, проанализируем её свойства.

1. Знаменатель дроби. Выражение в знаменателе $x^2 + 1$ определено для любого действительного числа $x$. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, то знаменатель всегда будет больше или равен 1: $x^2 + 1 \ge 0 + 1 \ge 1$.

2. Значение дроби. Так как числитель равен 1 (положительное число), а знаменатель всегда $\ge 1$ (также положительное число), то значение функции $y$ всегда будет положительным, то есть $y > 0$.

3. Наибольшее значение функции. Дробь $\frac{1}{A}$ принимает наибольшее значение, когда её знаменатель $A$ принимает наименьшее значение. Наименьшее значение знаменателя $x^2 + 1$ равно 1, и оно достигается при $x=0$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно:

$y_{max} = \frac{1}{0^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1$

4. Поведение функции при $x \to \infty$. Когда абсолютное значение $x$ стремится к бесконечности ($|x| \to \infty$), $x^2$ также стремится к бесконечности. Знаменатель $x^2+1$ неограниченно растет, а значение дроби $\frac{1}{x^2+1}$ стремится к нулю, оставаясь положительным.

Объединяя все пункты, мы получаем, что значения функции $y$ строго больше нуля и не превышают 1. Таким образом, область значений функции — это полуинтервал $(0, 1]$.

Ответ: $E(y) = (0, 1]$

б) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{-2}{x^2 + 4}$, выполним аналогичный анализ.

1. Знаменатель дроби. Выражение в знаменателе $x^2 + 4$ определено для любого действительного числа $x$. Так как $x^2 \ge 0$, то знаменатель всегда будет больше или равен 4: $x^2 + 4 \ge 0 + 4 \ge 4$.

2. Значение дроби. Числитель равен -2 (отрицательное число), а знаменатель $x^2+4$ всегда положителен. Следовательно, значение функции $y$ всегда будет отрицательным, то есть $y < 0$.

3. Наибольшее значение функции. Для отрицательных чисел наибольшим является то, которое ближе всего к нулю (имеет наименьший модуль). Функция $y = \frac{-2}{x^2 + 4}$ примет наибольшее значение, когда модуль дроби $|\frac{-2}{x^2 + 4}| = \frac{2}{x^2 + 4}$ будет наименьшим. Это произойдет, когда знаменатель $x^2+4$ будет наибольшим. Но нам нужно найти наибольшее значение самой функции $y$. Это произойдет, когда знаменатель $x^2 + 4$ примет свое наименьшее значение. Наименьшее значение знаменателя равно 4, и оно достигается при $x=0$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно:

$y_{max} = \frac{-2}{0^2 + 4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

4. Поведение функции при $x \to \infty$. Когда $|x| \to \infty$, знаменатель $x^2+4$ неограниченно растет. Значение дроби $\frac{-2}{x^2+4}$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным.

Объединяя все пункты, мы получаем, что значения функции $y$ не превышают $-\frac{1}{2}$ и строго меньше нуля. Таким образом, область значений функции — это полуинтервал $[-\frac{1}{2}, 0)$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}, 0)$