Номер 31.13, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.13, страница 122.

31.13 a) Постройте график функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ имеет три корня?

а) Постройте график функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$.

Для построения графика функции проведем ее исследование.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$. Точка пересечения: $(0, 3)$.
- С осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 2t + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, уравнение для $t$ не имеет действительных корней, а значит, и исходное уравнение не имеет корней. График не пересекает ось Ox.

4. Экстремумы и промежутки монотонности.
Найдем производную функции:
$y' = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Определим знаки производной на интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$.
- На интервале $(-\infty, -1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1, 0)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0, 1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1, \infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
Таким образом, $x = -1$ и $x = 1$ являются точками минимума, а $x = 0$ — точкой локального максимума.
Найдем значения функции в этих точках:
$y_{min} = y(\pm 1) = (\pm 1)^4 - 2(\pm 1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
$y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$.
Точки минимума: $(-1, 2)$ и $(1, 2)$. Точка локального максимума: $(0, 3)$.

5. Построение графика.
На основе полученных данных можно построить график. Он симметричен относительно оси Oy, имеет два минимума в точках $(-1, 2)$ и $(1, 2)$ и локальный максимум в точке $(0, 3)$. График не пересекает ось Ox и имеет форму, напоминающую букву "W".

Ответ: График функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ — это симметричная относительно оси Oy кривая, имеющая точки минимума $(-1, 2)$, $(1, 2)$ и точку локального максимума $(0, 3)$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ имеет три корня?

Число корней уравнения $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ соответствует числу точек пересечения графика функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения $a$, используя свойства графика, установленные в пункте а):
- При $a < 2$ (прямая ниже точек минимума) — нет точек пересечения (0 корней).
- При $a = 2$ (прямая касается графика в точках минимума) — 2 точки пересечения (2 корня).
- При $2 < a < 3$ (прямая между минимумами и максимумом) — 4 точки пересечения (4 корня).
- При $a = 3$ (прямая проходит через точку локального максимума) — 3 точки пересечения (3 корня). Корни в этом случае: $x=0$, $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$.
- При $a > 3$ (прямая выше локального максимума) — 2 точки пересечения (2 корня).

Уравнение имеет ровно три корня, когда прямая $y=a$ проходит через точку локального максимума графика функции.

Ответ: $a=3$.