Номер 31.16, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.16, страница 123.

Решите уравнение с помощью исследования функций на монотонность:

31.16 a) $x^3 + 5 = 15 - x;$

б) $x^5 + 3x^3 + 7x - 11 = 0;$

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 - 12x;$

г) $x^5 + 4x^3 + 8x - 13 = 0.$

а) Перепишем исходное уравнение $x^3 + 5 = 15 - x$ в виде $x^3 + x - 10 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x - 10$. Нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 0$.
Для исследования функции на монотонность найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + x - 10)' = 3x^2 + 1$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, производная $f'(x) = 3x^2 + 1$ всегда будет больше нуля ($f'(x) > 0$) при любом $x$.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Строго монотонная функция может принимать каждое свое значение только один раз. Таким образом, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые числа.
Проверим $x=1$: $f(1) = 1^3 + 1 - 10 = -8 \neq 0$.
Проверим $x=2$: $f(2) = 2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$.
Мы нашли корень $x=2$. Так как он может быть только один, это и есть решение уравнения.
Ответ: 2.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 3x^3 + 7x - 11$. Уравнение имеет вид $f(x) = 0$.
Найдем производную этой функции для определения ее монотонности:
$f'(x) = (x^5 + 3x^3 + 7x - 11)' = 5x^4 + 9x^2 + 7$.
Слагаемые $5x^4$ и $9x^2$ неотрицательны для любых $x$ ($x^4 \ge 0, x^2 \ge 0$).
Следовательно, производная $f'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 7$ всегда положительна для любого $x \in \mathbb{R}$.
Это значит, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Уравнение $f(x)=0$ может иметь не более одного корня.
Найдем корень подбором.
При $x=1$: $f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 7 \cdot 1 - 11 = 1 + 3 + 7 - 11 = 0$.
Таким образом, $x=1$ является единственным решением уравнения.
Ответ: 1.

в) Перенесем все члены уравнения $2x^5 + 3x^3 = 17 - 12x$ в одну часть:
$2x^5 + 3x^3 + 12x - 17 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^5 + 3x^3 + 12x - 17$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (2x^5 + 3x^3 + 12x - 17)' = 10x^4 + 9x^2 + 12$.
Так как $10x^4 \ge 0$ и $9x^2 \ge 0$ для любых $x$, то $f'(x) = 10x^4 + 9x^2 + 12 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.
Функция $f(x)$ является строго возрастающей, а значит, уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного решения.
Найдем решение подбором.
При $x=1$: $f(1) = 2 \cdot 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 12 \cdot 1 - 17 = 2 + 3 + 12 - 17 = 0$.
Следовательно, $x=1$ – единственный корень уравнения.
Ответ: 1.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 4x^3 + 8x - 13$. Требуется решить уравнение $f(x) = 0$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^5 + 4x^3 + 8x - 13)' = 5x^4 + 12x^2 + 8$.
Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $5x^4 \ge 0$ и $12x^2 \ge 0$.
Значит, производная $f'(x) = 5x^4 + 12x^2 + 8$ всегда положительна.
Таким образом, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.
Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня.
Найдем корень подбором.
При $x=1$: $f(1) = 1^5 + 4 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1 - 13 = 1 + 4 + 8 - 13 = 0$.
Мы нашли корень $x=1$. В силу строгой монотонности функции он является единственным.
Ответ: 1.