Номер 31.5, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.5, страница 122.

31.5 a) $y = x^3 - 3x^2 + 2;$

б) $y = -x^3 + 3x - 2;$

В) $y = -x^3 + 6x^2 - 5;$

Г) $y = x^3 - 3x + 2.$

а) $y = x^3 - 3x^2 + 2$

Для исследования функции выполним следующие шаги:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.

- С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 2 = 0$. Один из корней $x=1$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получим $(x-1)(x^2-2x-2)=0$. Корни квадратного уравнения: $x = 1 \pm \sqrt{3}$. Точки пересечения: $(1; 0)$, $(1-\sqrt{3}; 0)$, $(1+\sqrt{3}; 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (0; 2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (2; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 2$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.

Найдем точки возможного перегиба: $6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$.

- При $x \in (-\infty; 1)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (выпуклый).

- При $x \in (1; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).

В точке $x=1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 0$. Координаты точки перегиба $(1; 0)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$, убывает на $[0; 2]$. Точка максимума: $(0; 2)$. Точка минимума: $(2; -2)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; 1]$ и выпуклый вниз на $[1; +\infty)$. Точка перегиба: $(1; 0)$.

б) $y = -x^3 + 3x - 2$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = -2$. Точка $(0; -2)$.

- С осью OX: $y=0 \Rightarrow -x^3 + 3x - 2 = 0$. Корни $x=1$ (кратный) и $x=-2$. Точки $(-2; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^3 + 3(-x) - 2 = x^3 - 3x - 2$. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

$y' = (-x^3 + 3x - 2)' = -3x^2 + 3$.

$y'=0 \Rightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1=-1, x_2=1$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (-1; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка минимума: $x=-1$, $y_{min} = y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4$.

Точка максимума: $x=1$, $y_{max} = y(1) = -1^3 + 3(1) - 2 = 0$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

$y'' = (-3x^2 + 3)' = -6x$.

$y''=0 \Rightarrow -6x = 0 \Rightarrow x=0$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).

- При $x \in (0; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).

Точка перегиба: $x=0$. $y(0) = -2$. Координаты $(0; -2)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$, убывает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума: $(-1; -4)$. Точка максимума: $(1; 0)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 0]$ и выпуклый вверх на $[0; +\infty)$. Точка перегиба: $(0; -2)$.

в) $y = -x^3 + 6x^2 - 5$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = -5$. Точка $(0; -5)$.

- С осью OX: $y=0 \Rightarrow -x^3 + 6x^2 - 5 = 0$. Один из корней $x=1$. Другие корни иррациональны.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^3 + 6(-x)^2 - 5 = x^3 + 6x^2 - 5$. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

$y' = (-x^3 + 6x^2 - 5)' = -3x^2 + 12x$.

$y'=0 \Rightarrow -3x^2 + 12x = 0 \Rightarrow -3x(x-4)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=4$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0; 4)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (4; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка минимума: $x=0$, $y_{min} = y(0) = -5$.

Точка максимума: $x=4$, $y_{max} = y(4) = -(4^3) + 6(4^2) - 5 = -64 + 96 - 5 = 27$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

$y'' = (-3x^2 + 12x)' = -6x + 12$.

$y''=0 \Rightarrow -6x + 12 = 0 \Rightarrow x=2$.

- При $x \in (-\infty; 2)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).

- При $x \in (2; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).

Точка перегиба: $x=2$. $y(2) = -(2^3) + 6(2^2) - 5 = -8 + 24 - 5 = 11$. Координаты $(2; 11)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[0; 4]$, убывает на $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$. Точка минимума: $(0; -5)$. Точка максимума: $(4; 27)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 2]$ и выпуклый вверх на $[2; +\infty)$. Точка перегиба: $(2; 11)$.

г) $y = x^3 - 3x + 2$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = 2$. Точка $(0; 2)$.

- С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^3 - 3x + 2 = 0$. Корни $x=1$ (кратный) и $x=-2$. Точки $(-2; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

$y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.

$y'=0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1=-1, x_2=1$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точка максимума: $x=-1$, $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.

Точка минимума: $x=1$, $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.

$y''=0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x=0$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).

- При $x \in (0; +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).

Точка перегиба: $x=0$. $y(0) = 2$. Координаты $(0; 2)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[-1; 1]$. Точка максимума: $(-1; 4)$. Точка минимума: $(1; 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; 0]$ и выпуклый вниз на $[0; +\infty)$. Точка перегиба: $(0; 2)$.