Номер 30.46, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.46, страница 121.

30.46 а) $y = |x^3 - 3x|;$

б) $y = |x - x^3|.$

а) $y = |x^3 - 3x|$

Для того чтобы решить задачу, необходимо исследовать и построить график функции. Построение графика функции вида $y = |f(x)|$ выполняется в два этапа: сначала строится график функции $y = f(x)$, а затем часть графика, находящаяся ниже оси абсцисс ($y<0$), симметрично отражается относительно этой оси.

1. Исследование функции $f(x) = x^3 - 3x$.

- Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

- Четность: $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

- Точки пересечения с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=\sqrt{3}$, $x_3=-\sqrt{3}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; 0)$.

- Экстремумы и интервалы монотонности:
Находим производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$.
Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Анализируем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• $(-1; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• $(1; \infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-1$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2$.
Точка $x=1$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(1) = 1^3 - 3(1) = -2$.
Экстремумы функции $f(x)$: максимум в точке $(-1; 2)$ и минимум в точке $(1; -2)$.

2. Построение графика $y = |x^3 - 3x|$.

- Части графика $f(x)=x^3-3x$, где $f(x) \ge 0$ (на интервалах $[-\sqrt{3}, 0]$ и $[\sqrt{3}, \infty)$), остаются без изменений.

- Части графика, где $f(x) < 0$ (на интервалах $(-\infty, -\sqrt{3})$ и $(0, \sqrt{3})$), отражаются симметрично относительно оси OX.

- В результате отражения точка локального минимума $(1; -2)$ функции $f(x)$ становится точкой локального максимума $(1; 2)$ для функции $y = |x^3 - 3x|$. Точка максимума $(-1; 2)$ остается на месте.

- Точки пересечения с осью OX становятся точками локального минимума для итоговой функции: $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; 0)$.

- Итоговая функция $y = |x^3 - 3x|$ является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

Ответ: Для построения графика функции $y = |x^3 - 3x|$ необходимо сначала построить график нечетной функции $f(x) = x^3 - 3x$. Затем участки графика $f(x)$, расположенные ниже оси абсцисс, следует симметрично отразить относительно этой оси. В результате получается график четной функции, у которой точки локальных минимумов находятся в $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$, а точки локальных максимумов — в $(-1; 2)$ и $(1; 2)$.

---

б) $y = |x - x^3|$

Так как $|A| = |-A|$, то $|x - x^3| = |-(x^3 - x)| = |x^3 - x|$. Исследование будем проводить для функции $y = |x^3 - x|$, так как это эквивалентно исходной задаче. Алгоритм решения аналогичен пункту а).

1. Исследование функции $g(x) = x^3 - x$.

- Область определения: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

- Четность: $g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

- Точки пересечения с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^3 - x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 1) = 0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Точки пересечения: $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$.

- Экстремумы и интервалы монотонности:
Находим производную: $g'(x) = 3x^2 - 1$.
Критические точки: $3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt{3}$.
Анализируем знаки производной:

• $(-\infty; -1/\sqrt{3})$: $g'(x) > 0$, функция возрастает.
• $(-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$: $g'(x) < 0$, функция убывает.
• $(1/\sqrt{3}; \infty)$: $g'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-1/\sqrt{3}$ — точка локального максимума, $y_{max} = g(-1/\sqrt{3}) = (-1/\sqrt{3})^3 - (-1/\sqrt{3}) = -1/(3\sqrt{3}) + 1/\sqrt{3} = 2/(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}/9$.
Точка $x=1/\sqrt{3}$ — точка локального минимума, $y_{min} = g(1/\sqrt{3}) = (1/\sqrt{3})^3 - (1/\sqrt{3}) = 1/(3\sqrt{3}) - 1/\sqrt{3} = -2/(3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}/9$.
Экстремумы функции $g(x)$: максимум в точке $(-1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$ и минимум в точке $(1/\sqrt{3}; -2\sqrt{3}/9)$.

2. Построение графика $y = |x - x^3| = |x^3 - x|$.

- Части графика $g(x)$, где $g(x) \ge 0$ (на интервалах $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$), остаются без изменений.

- Части графика, где $g(x) < 0$ (на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(0, 1)$), отражаются симметрично относительно оси OX.

- В результате отражения точка локального минимума $(1/\sqrt{3}; -2\sqrt{3}/9)$ становится точкой локального максимума $(1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$. Точка максимума $(-1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$ остается на месте.

- Точки пересечения с осью OX $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$ становятся точками локального минимума для итоговой функции.

- Итоговая функция $y = |x - x^3|$ является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

Ответ: Для построения графика функции $y = |x - x^3|$ сначала строится график нечетной функции $g(x) = x^3 - x$. Затем участки графика $g(x)$, расположенные ниже оси абсцисс, симметрично отражаются относительно этой оси. В результате получается график четной функции с точками локальных минимумов в $(-1; 0)$, $(0; 0)$ и $(1; 0)$, и точками локальных максимумов в $(-1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$ и $(1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$.