Номер 30.39, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.39, страница 120.

30.39 a) $y = 2x + \frac{8}{x}$;

б) $y = \sqrt{2x - 1}$;

В) $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$;

Г) $y = x - 3^4$.

а)

Дана функция $y = 2x + \frac{8}{x}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде, удобном для дифференцирования, используя свойство степеней: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

$y = 2x + 8x^{-1}$

Используем правило дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$ и формулу для производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Находим производную каждого слагаемого:

Производная первого слагаемого: $(2x)' = 2$.

Производная второго слагаемого: $(8x^{-1})' = 8 \cdot (-1)x^{-1-1} = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.

Складываем полученные производные:

$y' = (2x + 8x^{-1})' = (2x)' + (8x^{-1})' = 2 - \frac{8}{x^2}$.

Ответ: $y' = 2 - \frac{8}{x^2}$.

б)

Дана функция $y = \sqrt{2x - 1}$.

Это сложная функция вида $y=f(g(x))$, где внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя функция $g(x) = 2x - 1$. Для ее дифференцирования применяется правило производной сложной функции: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Сначала найдем производную внешней функции. Представим корень как степень $\frac{1}{2}$:

$f'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Теперь найдем производную внутренней функции:

$g'(x) = (2x - 1)' = 2$.

Теперь перемножим производную внешней функции (в которую подставлена внутренняя функция) на производную внутренней функции:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot (2x-1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot 2 = \frac{2}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$.

в)

Дана функция $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$.

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{5}x + 5x^{-1}$.

Применим те же правила, что и в пункте а): правило дифференцирования суммы и формулу для производной степенной функции.

Находим производную каждого слагаемого:

Производная первого слагаемого: $(\frac{1}{5}x)' = \frac{1}{5}$.

Производная второго слагаемого: $(5x^{-1})' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} = -5x^{-2} = -\frac{5}{x^2}$.

Складываем производные:

$y' = (\frac{1}{5}x + 5x^{-1})' = (\frac{1}{5}x)' + (5x^{-1})' = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$.

г)

Дана функция $y = x - 3^4$.

В этой функции слагаемое $3^4$ является константой (постоянным числом), так как не содержит переменной $x$.

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Таким образом, функция имеет вид $y = x - 81$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$.

Производная $x$ равна 1: $(x)' = 1$.

Производная любой константы ($C$) равна нулю: $(C)' = 0$. В нашем случае $(3^4)'=0$.

Следовательно, производная функции:

$y' = (x - 3^4)' = (x)' - (3^4)' = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $y' = 1$.