Номер 30.33, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.33, страница 119.

30.33 а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале $(a; b)$, имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения.

б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале $(a; b)$, имеющей на нём две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наибольшего значений.

а)

Для построения эскиза графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, проанализируем эти условия:

1. Дифференцируемость на интервале $(a; b)$. Это означает, что график функции должен быть гладкой, непрерывной кривой на всем интервале, без разрывов, изломов или угловых точек.

2. Одна точка минимума и две точки максимума. Для дифференцируемой функции точки локальных максимумов и минимумов (экстремумов) должны чередоваться. Чтобы получить одну точку минимума и две точки максимума, их порядок на оси $Ox$ должен быть таким: максимум, затем минимум, затем снова максимум. Обозначим абсциссы этих точек как $x_{max1}$, $x_{min}$, $x_{max2}$, где $a < x_{max1} < x_{min} < x_{max2} < b$. В этих точках производная функции равна нулю: $f'(x_{max1}) = f'(x_{min}) = f'(x_{max2}) = 0$.

3. Характер монотонности. Исходя из чередования экстремумов, функция будет возрастать на интервале $(a, x_{max1})$, убывать на $(x_{max1}, x_{min})$, снова возрастать на $(x_{min}, x_{max2})$ и снова убывать на $(x_{max2}, b)$.

4. Отсутствие наименьшего значения. Наименьшее значение на интервале — это глобальный минимум. Его отсутствие означает, что функция не ограничена снизу. Для функции, определённой на открытом интервале $(a; b)$, это возможно, если её значения стремятся к минус бесконечности при приближении аргумента к одной из границ интервала. То есть, должен выполняться один из пределов: $\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty$ или $\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$.

Совместим все условия для построения эскиза. Выберем вариант, когда $\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$. Это согласуется с тем, что на последнем участке $(x_{max2}, b)$ функция убывает. На левой границе интервала, при $x \to a^+$, функция может стремиться к конечному значению.

Ответ: Эскиз графика представляет собой гладкую кривую на интервале $(a; b)$. При приближении $x$ к $a$ справа, функция $f(x)$ стремится к некоторому конечному значению (например, к нулю). Затем функция возрастает до точки локального максимума, после чего убывает до точки локального минимума. Далее она снова возрастает до второй точки локального максимума, которая может быть выше или ниже первой. После второй точки максимума функция убывает и стремится к $-\infty$ при приближении $x$ к $b$ слева. Таким образом, прямая $x=b$ является вертикальной асимптотой. Локальный минимум не является наименьшим значением функции, так как функция неограниченно убывает при $x \to b^-$.

б)

Проанализируем условия для построения второго эскиза:

1. Дифференцируемость на интервале $(a; b)$. График — гладкая непрерывная кривая.

2. Две точки минимума и две точки максимума. Это означает, что производная $f'(x)$ имеет четыре корня на интервале $(a; b)$. Экстремумы должны чередоваться. Возможны два порядка: мин-макс-мин-макс или макс-мин-макс-мин. Выберем для примера второй порядок. Пусть абсциссы экстремумов $x_1, x_2, x_3, x_4$ таковы, что $a < x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < b$. Тогда в $x_1$ и $x_3$ — локальные максимумы, а в $x_2$ и $x_4$ — локальные минимумы.

3. Характер монотонности. Для выбранного порядка экстремумов функция возрастает на $(a, x_1)$, убывает на $(x_1, x_2)$, возрастает на $(x_2, x_3)$, убывает на $(x_3, x_4)$ и снова возрастает на $(x_4, b)$.

4. Отсутствие наименьшего и наибольшего значений. Это означает, что функция не ограничена ни снизу, ни сверху. На открытом интервале $(a; b)$ это достигается, если на его концах функция уходит в бесконечность. То есть, должны выполняться предельные соотношения: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ и $\lim_{x \to b^-} f(x) = \mp\infty$.

Совместим эти условия. Выбранный нами характер монотонности (возрастание на $(a, x_1)$ и на $(x_4, b)$) соответствует следующему поведению на границах: $\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to b^-} f(x) = +\infty$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой гладкую кривую на интервале $(a; b)$. При приближении $x$ к $a$ справа, функция $f(x)$ стремится к $-\infty$ (прямая $x=a$ — вертикальная асимптота). Затем функция возрастает до первого локального максимума, убывает до первого локального минимума, снова возрастает до второго локального максимума и снова убывает до второго локального минимума. После второй точки минимума функция возрастает и стремится к $+\infty$ при приближении $x$ к $b$ слева (прямая $x=b$ — также вертикальная асимптота). Вследствие того, что $\inf_{(a;b)} f(x) = -\infty$ и $\sup_{(a;b)} f(x) = +\infty$, функция не имеет на интервале ни наименьшего, ни наибольшего значений.