Номер 30.28, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §30. Исследование функций на монотонность и экстремумы - номер 30.28, страница 117.

Условие.

30.28 По графику функции $y = f(x)$, изображённому на заданном рисунке, определите точки, в которых её производная обращается в ноль:

а) рис. 64;

б) рис. 65;

в) рис. 66;

г) рис. 67.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Производная функции $y = f(x)$ в некоторой точке равна нулю, если касательная к графику функции в этой точке горизонтальна. Геометрически это соответствует точкам локального максимума или минимума (точкам экстремума), в которых график функции является гладким, то есть не имеет изломов или острых пиков. В точках излома графика (острых вершинах) производная не существует, а значит, не может быть равна нулю.

а) рис. 64;
На графике точки $b$ и $d$ являются точками локального экстремума (максимума и минимума соответственно). В этих точках кривая гладкая, что означает, что касательная к графику в этих точках горизонтальна. Угловой коэффициент горизонтальной касательной равен нулю, поэтому производная в этих точках равна нулю: $f'(b)=0$ и $f'(d)=0$.
Точка $e$ является точкой излома (острый пик). В таких точках функция недифференцируема, поэтому производная в ней не существует.
В точках $a$ и $c$ касательная имеет ненулевой наклон, следовательно, производная в них не равна нулю.
Ответ: $b, d$.

б) рис. 65;
На данном графике в точке $c$ находится локальный минимум. Кривая в этой точке гладкая, поэтому касательная к графику в ней горизонтальна, а производная равна нулю: $f'(c)=0$.
В точках $a$ и $b$ график имеет изломы (острые вершины). В этих точках функция не является дифференцируемой, и ее производная не существует.
Ответ: $c$.

в) рис. 66;
На этом графике в точке $a$ расположен локальный минимум с гладким изгибом. Касательная в этой точке горизонтальна, значит, производная равна нулю: $f'(a)=0$.
Точки $b$ и $c$ являются острыми пиками (точками излома), где производная не существует.
Ответ: $a$.

г) рис. 67;
График функции на этом рисунке представляет собой ломаную линию. Все точки экстремума ($b, c, d, e$) являются точками излома. В этих точках функция недифференцируема, и производная не существует.
В точке $a$ график представляет собой отрезок прямой с постоянным отрицательным наклоном, поэтому производная в этой точке отрицательна и не равна нулю.
На данном графике нет ни одной точки, в которой касательная была бы горизонтальной.
Ответ: таких точек нет.