Номер 30.21, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.21, страница 116.

30.21 а) $y = -x^3 - 5x + 3$ убывает на $(-\infty; +\infty);$

б) $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$ убывает на $(-\infty; +\infty);$

в) $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty);$

г) $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$ убывает на $(-\infty; +\infty).$

а) Для того чтобы доказать, что функция $y = -x^3 - 5x + 3$ убывает на всей числовой оси, то есть на интервале $(-\infty; +\infty)$, необходимо найти ее производную и показать, что она неположительна ($y' \le 0$) для всех значений $x$.

Найдем производную функции:
$y' = (-x^3 - 5x + 3)' = -3x^2 - 5$.

Теперь проанализируем знак производной $y' = -3x^2 - 5$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, $-3x^2 \le 0$.
Тогда $-3x^2 - 5 \le 0 - 5$, что означает $-3x^2 - 5 \le -5$.
Таким образом, производная $y'$ всегда отрицательна ($y' < 0$) для любого действительного значения $x$.

Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, функция монотонно убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: утверждение доказано.

б) Рассмотрим функцию $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$. Чтобы доказать, что она убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$, найдем ее производную и исследуем ее знак.

Производная функции:
$y' = (-2x^5 - 7x^3 - x + 8)' = -10x^4 - 21x^2 - 1$.

Проанализируем знак производной $y' = -10x^4 - 21x^2 - 1$.
Выражения $x^4$ и $x^2$ всегда неотрицательны: $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $-10x^4 \le 0$ и $-21x^2 \le 0$.
Сумма двух неположительных слагаемых и отрицательного числа (-1) всегда будет отрицательной:
$y' = \underbrace{-10x^4}_{\le 0} + \underbrace{(-21x^2)}_{\le 0} + (-1) < 0$.
Более строго, максимальное значение производной достигается при $x=0$ и равно $y'(0) = -1$. Для всех остальных $x$ значение производной будет еще меньше.

Так как производная функции всегда отрицательна, функция монотонно убывает на всей числовой оси.
Ответ: утверждение доказано.

в) Рассмотрим функцию $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$. Докажем, что она убывает на $(-\infty; +\infty)$.

Найдем производную:
$y' = (-x^3 + 3x^2 - 6x + 1)' = -3x^2 + 6x - 6$.

Исследуем знак квадратичной функции $y' = -3x^2 + 6x - 6$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-3 < 0$). Чтобы определить знак этой функции, найдем ее дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-3)(-6) = 36 - 72 = -36$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент отрицателен ($a = -3 < 0$), вся парабола находится ниже оси абсцисс, то есть $y' < 0$ для всех $x$.
Другой способ — выделить полный квадрат:
$y' = -3(x^2 - 2x + 2) = -3((x^2 - 2x + 1) + 1) = -3((x - 1)^2 + 1) = -3(x - 1)^2 - 3$.
Так как $(x - 1)^2 \ge 0$, то $-3(x-1)^2 \le 0$, и $y' = -3(x - 1)^2 - 3 \le -3$.

Производная всегда отрицательна, следовательно, функция монотонно убывает на $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: утверждение доказано.

г) Рассмотрим функцию $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$. Докажем, что она убывает на $(-\infty; +\infty)$.

Найдем производную:
$y' = (-4x^3 + 4x^2 - 2x + 9)' = -12x^2 + 8x - 2$.

Исследуем знак квадратичной функции $y' = -12x^2 + 8x - 2$. Ветви параболы направлены вниз ($a = -12 < 0$). Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(-12)(-2) = 64 - 96 = -32$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент отрицателен ($a = -12 < 0$), то $y' < 0$ для всех $x$.
Также можно выделить полный квадрат:
$y' = -12x^2 + 8x - 2 = -2(6x^2 - 4x + 1)$.
Рассмотрим выражение в скобках. $6x^2 - 4x + 1 = 6(x^2 - \frac{2}{3}x) + 1 = 6(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) + 1 = 6(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{6}{9} + 1 = 6(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}$.
Это выражение всегда положительно.
Тогда $y' = -2 \cdot (6(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3})$ всегда отрицательна.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция монотонно убывает на $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: утверждение доказано.