Номер 30.14, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.14, страница 116.

Исследуйте функцию на монотонность:

30.14 а) $y = x^4 - 2x^2 - 3;$

б) $y = -x^5 - x;$

в) $y = -3x^4 + 4x^3 - 15;$

г) $y = 5x^5 - 1.$

а) Чтобы исследовать функцию $y = x^4 - 2x^2 - 3$ на монотонность, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на интервалах. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x-1)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -1)$, например, при $x = -2$: $y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-1, 0)$, например, при $x = -0.5$: $y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0, 1)$, например, при $x = 0.5$: $y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$, например, при $x = 2$: $y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$. Функция возрастает.

Следовательно, функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.

б) Исследуем функцию $y = -x^5 - x$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Находим производную:

$y' = (-x^5 - x)' = -5x^4 - 1$.

2. Ищем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-5x^4 - 1 = 0 \implies 5x^4 = -1$.

Это уравнение не имеет действительных решений, поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

3. Определяем знак производной. Так как $x^4 \ge 0$, то $-5x^4 \le 0$. Следовательно, $y' = -5x^4 - 1 \le -1 < 0$ для всех $x$ из области определения.

Поскольку производная функции отрицательна на всей числовой оси, функция является строго убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

в) Исследуем функцию $y = -3x^4 + 4x^3 - 15$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Находим производную:

$y' = (-3x^4 + 4x^3 - 15)' = -12x^3 + 12x^2$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-12x^3 + 12x^2 = 0$

$-12x^2(x - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, 0)$, например, при $x = -1$: $y'(-1) = -12(-1)^3 + 12(-1)^2 = 12 + 12 = 24 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0, 1)$, например, при $x = 0.5$: $y'(0.5) = -12(0.5)^3 + 12(0.5)^2 = -1.5 + 3 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(1, +\infty)$, например, при $x = 2$: $y'(2) = -12(2)^3 + 12(2)^2 = -96 + 48 = -48 < 0$. Функция убывает.

Поскольку производная положительна на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$ и функция непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всем промежутке $(-\infty, 1]$. На промежутке $[1, +\infty)$ производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

г) Исследуем функцию $y = 5x^5 - 1$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Находим производную:

$y' = (5x^5 - 1)' = 25x^4$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$25x^4 = 0 \implies x = 0$.

3. Определяем знак производной. Для любого $x \ne 0$, $x^4 > 0$, поэтому $y' = 25x^4 > 0$. В точке $x=0$ производная равна нулю.

Так как производная функции неотрицательна ($y' \ge 0$) на всей области определения и обращается в ноль лишь в одной изолированной точке, функция является строго возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.