Номер 30.7, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.7, страница 115.

30.7 Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что функция $y = f(x)$ возрастает на луче $(-\infty; 1]$ и убывает на луче $[1; +\infty)$.

Для того чтобы изобразить эскиз графика производной функции $y = f'(x)$, воспользуемся связью между знаком производной и поведением (монотонностью) самой функции $y = f(x)$.

Основное правило, которое мы будем использовать, заключается в следующем:

• Если функция $f(x)$ возрастает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$.
• Если функция $f(x)$ убывает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неположительна, то есть $f'(x) \le 0$.

Проанализируем предоставленные условия:

1. На луче $(-\infty; 1]$ функция $y = f(x)$ возрастает.
   Это означает, что для всех $x$ из этого интервала, производная $f'(x)$ должна быть неотрицательной: $f'(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty; 1]$. График производной $y=f'(x)$ на этом участке должен располагаться выше или на оси абсцисс (оси Ox).
2. На луче $[1; +\infty)$ функция $y = f(x)$ убывает.
   Это означает, что для всех $x$ из этого интервала, производная $f'(x)$ должна быть неположительной: $f'(x) \le 0$ при $x \in [1; +\infty)$. График производной $y=f'(x)$ на этом участке должен располагаться ниже или на оси абсцисс (оси Ox).
3. В точке $x=1$ происходит смена монотонности функции.
   Функция переходит от возрастания к убыванию. Это значит, что $x=1$ является точкой локального максимума функции $f(x)$. Если функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке, то её производная в этой точке равна нулю: $f'(1) = 0$. Это означает, что график производной $y=f'(x)$ должен пересекать ось абсцисс в точке $x=1$.

Таким образом, эскиз графика производной $y=f'(x)$ должен удовлетворять трем условиям:

• График находится выше или на оси Ox при $x \le 1$.
• График находится ниже или на оси Ox при $x \ge 1$.
• График пересекает ось Ox в точке $(1; 0)$.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этим условиям. Простейшим примером является линейная функция, например $y = -x+1$ или $y = -2(x-1)$. В более общем случае это может быть любая непрерывная кривая, которая проходит через точку $(1;0)$ и меняет знак с плюса на минус в этой точке.

Ответ:

Эскиз графика производной $y = f'(x)$ представляет собой кривую, которая находится в верхней полуплоскости (или на оси абсцисс) при $x \le 1$, в нижней полуплоскости (или на оси абсцисс) при $x \ge 1$ и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$. Ниже приведен один из возможных эскизов такого графика.