Номер 30.5, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.5, страница 113.

30.5 Определите, для какой из функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ отрезок $[-1; 1]$ является промежутком возрастания, если на рисунках 54—56 изображены графики производных этих функций.

$y = f'(x)$

Рис. 54

$y = g'(x)$

Рис. 55

$y = h'(x)$

Рис. 56

Функция является возрастающей на промежутке, если ее производная на этом промежутке неотрицательна ($f'(x) \geq 0$) и обращается в ноль лишь в отдельных точках. Проанализируем знак производной для каждой функции на заданном отрезке $[-1; 1]$, используя представленные графики.

Для функции $y = f(x)$ (Рис. 54)

Рассмотрим график производной $y = f'(x)$. На всем отрезке $[-1; 1]$ график производной находится на оси абсцисс или ниже нее. Это означает, что для любого $x$ из этого отрезка выполняется условие $f'(x) \leq 0$. Поскольку производная на данном отрезке неположительна, функция $y=f(x)$ является убывающей (не возрастающей) на отрезке $[-1; 1]$.

Ответ: для функции $y=f(x)$ отрезок $[-1; 1]$ не является промежутком возрастания.

Для функции $y = g(x)$ (Рис. 55)

Рассмотрим график производной $y = g'(x)$. На всем отрезке $[-1; 1]$ график производной находится на оси абсцисс или выше нее. Это означает, что для любого $x$ из этого отрезка выполняется условие $g'(x) \geq 0$. Поскольку производная на данном отрезке неотрицательна, функция $y=g(x)$ является возрастающей на отрезке $[-1; 1]$.

Ответ: для функции $y=g(x)$ отрезок $[-1; 1]$ является промежутком возрастания.

Для функции $y = h(x)$ (Рис. 56)

Рассмотрим график производной $y = h'(x)$. На отрезке $[-1; 1]$ производная меняет свой знак. На промежутке $[-1; 0)$ график находится выше оси абсцисс, что означает $h'(x) > 0$. В точке $x=0$ график пересекает ось, то есть $h'(0)=0$. На промежутке $(0; 1]$ график находится ниже оси абсцисс, что означает $h'(x) < 0$. Так как производная не сохраняет постоянный знак на всем отрезке $[-1; 1]$, функция $y=h(x)$ не является монотонно возрастающей на этом отрезке (она возрастает на $[-1; 0]$ и убывает на $[0; 1]$).

Ответ: для функции $y=h(x)$ отрезок $[-1; 1]$ не является промежутком возрастания.