Номер 30.10, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.10, страница 115.

30.10 Докажите, что заданная функция убывает:

а) $y = \sin 2x - 3x;$

б) $y = \cos 3x - 4x.$

а) $y = \sin 2x - 3x$

Чтобы доказать, что функция является убывающей, нужно найти ее производную и показать, что она отрицательна на всей области определения. Область определения данной функции — все действительные числа.

Найдем производную функции:

$y' = (\sin 2x - 3x)' = (\sin 2x)' - (3x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - 3 = 2\cos 2x - 3$.

Теперь оценим знак производной. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos 2x \le 1$ для любого значения $x$.

Выполним преобразования с этим неравенством, чтобы получить выражение для производной:

Умножим все части на 2: $-2 \le 2\cos 2x \le 2$.

Вычтем 3 из всех частей: $-2 - 3 \le 2\cos 2x - 3 \le 2 - 3$.

Получаем: $-5 \le 2\cos 2x - 3 \le -1$.

Таким образом, значение производной $y'$ всегда находится в пределах от -5 до -1. Это означает, что производная $y'(x) < 0$ для любого $x$.

Так как производная функции отрицательна на всей области определения, функция $y = \sin 2x - 3x$ является убывающей.

Ответ: Доказано, что функция убывает, так как ее производная $y' = 2\cos 2x - 3$ отрицательна при всех $x$.

б) $y = \cos 3x - 4x$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Найдем производную функции, область определения которой — все действительные числа.

Производная функции:

$y' = (\cos 3x - 4x)' = (\cos 3x)' - (4x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' - 4 = -3\sin 3x - 4$.

Оценим знак производной. Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin 3x \le 1$ для любого значения $x$.

Выполним преобразования с неравенством:

Умножим все части на -3 (при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные): $3 \ge -3\sin 3x \ge -3$, что равносильно $-3 \le -3\sin 3x \le 3$.

Вычтем 4 из всех частей: $-3 - 4 \le -3\sin 3x - 4 \le 3 - 4$.

Получаем: $-7 \le -3\sin 3x - 4 \le -1$.

Значение производной $y'$ всегда находится в пределах от -7 до -1. Следовательно, производная $y'(x) < 0$ для любого $x$.

Так как производная функции отрицательна на всей области определения, функция $y = \cos 3x - 4x$ является убывающей.

Ответ: Доказано, что функция убывает, так как ее производная $y' = -3\sin 3x - 4$ отрицательна при всех $x$.