Номер 30.4, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.4, страница 113.

30.4 На каком из указанных промежутков функция $y = f(x)$ убывает, если график её производной представлен на рисунке 53:

а) $(-2; 1)$;

б) $(-\infty; 4)$;

в) $(4; +\infty)$;

г) $(-\infty; -2)$?

Рис. 53

Функция $y = f(x)$ убывает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ отрицательна. На графике производной это соответствует интервалам, где линия графика $y = f'(x)$ расположена ниже оси абсцисс (оси Ox). Проанализируем каждый из предложенных промежутков, глядя на представленный график производной.

а) $(-2; 1)$
На интервале $(-2; 1)$ график производной $f'(x)$ целиком находится выше оси Ox. Это означает, что для всех $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Следовательно, на промежутке $(-2; 1)$ функция $f(x)$ возрастает.
Ответ: на промежутке $(-2; 1)$ функция возрастает.

б) $(-\infty; 4)$
На интервале $(-\infty; 4)$ график производной $f'(x)$ также находится выше оси Ox (в точке $x=4$ производная равна нулю, но эта точка не входит в интервал). Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; 4)$, функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.
Ответ: на промежутке $(-\infty; 4)$ функция возрастает.

в) $(4; +\infty)$
На интервале $(4; +\infty)$ график производной $f'(x)$ целиком находится ниже оси Ox. Это означает, что для всех $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Следовательно, на промежутке $(4; +\infty)$ функция $f(x)$ убывает.
Ответ: на промежутке $(4; +\infty)$ функция убывает.

г) $(-\infty; -2)$
На интервале $(-\infty; -2)$ график производной $f'(x)$ находится выше оси Ox, то есть $f'(x) > 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty; -2)$ функция $f(x)$ возрастает.
Ответ: на промежутке $(-\infty; -2)$ функция возрастает.

Из всех рассмотренных вариантов только на промежутке $(4; +\infty)$ функция $y=f(x)$ убывает.

Ответ: в) $(4; +\infty)$