Номер 29.36, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.36, страница 110.

29.36 a) На оси $y$ взята точка $B$, из неё проведены касательные к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $60^\circ$. Найдите координаты точки $B$.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$, которые пересекаются под углом $120^\circ$ в точке, лежащей на оси $y$.

a)

Дана функция $y = f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $B$ лежит на оси y, следовательно, её координаты имеют вид $B(0, y_B)$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2})' = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x = \sqrt{3}x$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = f'(x_0) = \sqrt{3}x_0$.

Поскольку касательная проходит через точку $B(0, y_B)$, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной:

$y_B - f(x_0) = f'(x_0)(0 - x_0)$

$y_B - (\frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}x_0 \cdot x_0$

$y_B - \frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}x_0^2$

$y_B = -\sqrt{3}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y_B = -\frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Функция $f(x)$ является четной ($f(-x) = f(x)$), её график (парабола) симметричен относительно оси y. Так как точка $B$ также лежит на оси y, то точки касания симметричны относительно оси y. Пусть их абсциссы равны $x_0$ и $-x_0$.

Угловые коэффициенты двух касательных:

$k_1 = f'(x_0) = \sqrt{3}x_0$

$k_2 = f'(-x_0) = -\sqrt{3}x_0 = -k_1$

Угол между касательными равен 60°. Из-за симметрии ось y является биссектрисой угла между касательными. Это значит, что каждая касательная образует с осью y угол, равный $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Рассмотрим касательную с положительным угловым коэффициентом (пусть $x_0 > 0$, тогда $k_1 > 0$). Угол $\theta_1$, который эта касательная образует с положительным направлением оси x, равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Следовательно, угловой коэффициент этой касательной равен $k_1 = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Приравниваем найденное значение к выражению для $k_1$:

$\sqrt{3}x_0 = \sqrt{3}$, откуда $x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки $B$, подставив $x_0=1$ в полученное ранее выражение для $y_B$:

$y_B = -\frac{\sqrt{3}}{2}(1)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Координаты точки $B$ равны $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

б)

Дана функция $y = g(x) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$. Точка пересечения касательных $P$ лежит на оси y, её координаты $P(0, y_P)$.

Найдем производную функции: $g'(x) = (\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6}x^2)' = -\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3}x$.

Пусть $A(x_0, y_0)$ — одна из точек касания. Уравнение касательной в этой точке: $y - g(x_0) = g'(x_0)(x - x_0)$.

Поскольку касательная проходит через точку $P(0, y_P)$, ее координаты удовлетворяют уравнению:

$y_P - g(x_0) = g'(x_0)(0 - x_0)$

$y_P - \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x_0^2) = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}x_0)x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0^2$

$y_P = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0^2 - \frac{\sqrt{3}}{6}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{6}$.

График функции $g(x)$ симметричен относительно оси y. Точка $P$ также лежит на оси y, поэтому точки касания симметричны. Пусть их абсциссы равны $x_0$ и $-x_0$ (для определенности, $x_0 > 0$).

Угловые коэффициенты касательных: $k_1 = g'(x_0) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0$ и $k_2 = g'(-x_0) = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0$.

Угол между касательными равен 120°. Ось y является биссектрисой этого угла, значит, каждая касательная образует с осью y угол $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Рассмотрим касательную с положительным угловым коэффициентом $k_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0$. Угол $\theta$, который она образует с положительным направлением оси x, равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Ее угловой коэффициент $k_2 = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Приравниваем это значение к выражению для $k_2$: $\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$, откуда $x_0 = 1$.

Таким образом, абсциссы точек касания равны $1$ и $-1$.

Найдем ординату точки пересечения $P$, подставив $x_0 = 1$ в выражение для $y_P$:

$y_P = \frac{\sqrt{3}}{6}(1)^2 + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Точка пересечения касательных $P$ имеет координаты $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$.

Угловые коэффициенты касательных:

$k_1 = g'(1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$k_2 = g'(-1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Уравнения касательных имеют вид $y = kx + y_P$.

Первая касательная: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вторая касательная: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.