Номер 29.38, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.38, страница 111.

29.38 a) При каком значении параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 - px$ в точке $x = 1$ проходит через точку (2; 3)?

б) При каком значении параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 + px^2$ в точке $x = 1$ проходит через точку (3; 2)?

а)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данном случае функция $f(x) = x^3 - px$, а точка касания имеет абсциссу $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^3 - p \cdot 1 = 1 - p$.

Таким образом, точка касания на графике имеет координаты $(1; 1-p)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - px)' = 3x^2 - p$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной в этой точке:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - p = 3 - p$.

4. Теперь подставим найденные значения $f(1)$ и $f'(1)$ в общее уравнение касательной:

$y = (1 - p) + (3 - p)(x - 1)$.

5. По условию задачи, эта касательная проходит через точку с координатами $(2; 3)$. Подставим $x = 2$ и $y = 3$ в уравнение касательной, чтобы найти параметр $p$:

$3 = (1 - p) + (3 - p)(2 - 1)$

$3 = 1 - p + (3 - p) \cdot 1$

$3 = 1 - p + 3 - p$

$3 = 4 - 2p$

$2p = 4 - 3$

$2p = 1$

$p = \frac{1}{2}$

Ответ: $p = \frac{1}{2}$.

б)

Решим задачу аналогично для функции $y = x^3 + px^2$ в точке $x_0 = 1$. Касательная должна проходить через точку $(3; 2)$.

1. Найдем значение функции $f(x) = x^3 + px^2$ в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^3 + p \cdot 1^2 = 1 + p$.

Координаты точки касания: $(1; 1+p)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + px^2)' = 3x^2 + 2px$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2p \cdot 1 = 3 + 2p$.

4. Составим уравнение касательной:

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$

$y = (1 + p) + (3 + 2p)(x - 1)$.

5. По условию, касательная проходит через точку $(3; 2)$. Подставим $x = 3$ и $y = 2$ в полученное уравнение:

$2 = (1 + p) + (3 + 2p)(3 - 1)$

$2 = 1 + p + (3 + 2p) \cdot 2$

$2 = 1 + p + 6 + 4p$

$2 = 7 + 5p$

$5p = 2 - 7$

$5p = -5$

$p = -1$

Ответ: $p = -1$.