Номер 29.37, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.37, страница 111.

29.37 a) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^2 - |2x - 6|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 5, x = -5.$

б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^3 + |x - 1|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 2, x = -2.$

а) Найдём точку пересечения касательных к графику функции $y = x^2 - |2x - 6|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 5$ и $x = -5$.

1. Сначала раскроем модуль в выражении функции $f(x) = x^2 - |2x - 6|$. Выражение под модулем $2x - 6$ равно нулю при $x = 3$.

• Если $x \ge 3$, то $2x - 6 \ge 0$, и $|2x - 6| = 2x - 6$. Функция принимает вид: $f(x) = x^2 - (2x - 6) = x^2 - 2x + 6$.
• Если $x < 3$, то $2x - 6 < 0$, и $|2x - 6| = -(2x - 6) = -2x + 6$. Функция принимает вид: $f(x) = x^2 - (-2x + 6) = x^2 + 2x - 6$.

2. Найдём производную функции для каждого случая, чтобы определить угловой коэффициент касательной:

• При $x > 3$, $f'(x) = (x^2 - 2x + 6)' = 2x - 2$.
• При $x < 3$, $f'(x) = (x^2 + 2x - 6)' = 2x + 2$.

3. Найдём уравнение первой касательной в точке с абсциссой $x_1 = 5$.

Поскольку $5 > 3$, используем $f(x) = x^2 - 2x + 6$ и $f'(x) = 2x - 2$.

Координата $y_1$ точки касания: $f(5) = 5^2 - 2 \cdot 5 + 6 = 25 - 10 + 6 = 21$.

Угловой коэффициент касательной $k_1$: $f'(5) = 2 \cdot 5 - 2 = 8$.

Уравнение касательной имеет вид $y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1)$. Подставляем значения:

$y = 8(x - 5) + 21$

$y = 8x - 40 + 21$

$y = 8x - 19$

4. Найдём уравнение второй касательной в точке с абсциссой $x_2 = -5$.

Поскольку $-5 < 3$, используем $f(x) = x^2 + 2x - 6$ и $f'(x) = 2x + 2$.

Координата $y_2$ точки касания: $f(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 6 = 25 - 10 - 6 = 9$.

Угловой коэффициент касательной $k_2$: $f'(-5) = 2(-5) + 2 = -10 + 2 = -8$.

Уравнение касательной: $y = f'(x_2)(x - x_2) + f(x_2)$. Подставляем значения:

$y = -8(x - (-5)) + 9$

$y = -8(x + 5) + 9$

$y = -8x - 40 + 9$

$y = -8x - 31$

5. Найдём точку пересечения двух касательных, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = 8x - 19 \\ y = -8x - 31 \end{cases}$

Приравниваем правые части:

$8x - 19 = -8x - 31$

$16x = -12$

$x = -12/16 = -3/4$

Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений касательной:

$y = 8(-3/4) - 19 = -6 - 19 = -25$.

Точка пересечения касательных: $(-3/4, -25)$.

Ответ: $(-3/4, -25)$.

б) Найдём точку пересечения касательных к графику функции $y = x^3 + |x - 1|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 2$ и $x = -2$.

1. Сначала раскроем модуль в выражении функции $f(x) = x^3 + |x - 1|$. Выражение под модулем $x - 1$ равно нулю при $x = 1$.

• Если $x \ge 1$, то $x - 1 \ge 0$, и $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид: $f(x) = x^3 + x - 1$.
• Если $x < 1$, то $x - 1 < 0$, и $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид: $f(x) = x^3 - x + 1$.

2. Найдём производную функции для каждого случая:

• При $x > 1$, $f'(x) = (x^3 + x - 1)' = 3x^2 + 1$.
• При $x < 1$, $f'(x) = (x^3 - x + 1)' = 3x^2 - 1$.

3. Найдём уравнение первой касательной в точке с абсциссой $x_1 = 2$.

Поскольку $2 > 1$, используем $f(x) = x^3 + x - 1$ и $f'(x) = 3x^2 + 1$.

Координата $y_1$ точки касания: $f(2) = 2^3 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9$.

Угловой коэффициент касательной $k_1$: $f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13$.

Уравнение касательной: $y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1)$.

$y = 13(x - 2) + 9$

$y = 13x - 26 + 9$

$y = 13x - 17$

4. Найдём уравнение второй касательной в точке с абсциссой $x_2 = -2$.

Поскольку $-2 < 1$, используем $f(x) = x^3 - x + 1$ и $f'(x) = 3x^2 - 1$.

Координата $y_2$ точки касания: $f(-2) = (-2)^3 - (-2) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5$.

Угловой коэффициент касательной $k_2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 11$.

Уравнение касательной: $y = f'(x_2)(x - x_2) + f(x_2)$.

$y = 11(x - (-2)) + (-5)$

$y = 11(x + 2) - 5$

$y = 11x + 22 - 5$

$y = 11x + 17$

5. Найдём точку пересечения двух касательных, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = 13x - 17 \\ y = 11x + 17 \end{cases}$

Приравниваем правые части:

$13x - 17 = 11x + 17$

$2x = 34$

$x = 17$

Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений касательной:

$y = 11(17) + 17 = 187 + 17 = 204$.

Точка пересечения касательных: $(17, 204)$.

Ответ: $(17, 204)$.