Номер 29.34, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.34, страница 110.

29.34 a) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3$, $x > 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{2}{3}$.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3$, $x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{27}{8}$.

a)

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для функции $y = x^3$ имеем:

$f(x_0) = x_0^3$

Производная функции: $f'(x) = 3x^2$, следовательно, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0) = 3x_0^2$.

Подставим эти выражения в уравнение касательной:

$y = x_0^3 + 3x_0^2(x - x_0)$

$y = x_0^3 + 3x_0^2x - 3x_0^3$

$y = (3x_0^2)x - 2x_0^3$

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат. Касательная отсекает от осей прямоугольный треугольник.

Точка пересечения с осью Oy (когда $x=0$):

$y_{int} = (3x_0^2) \cdot 0 - 2x_0^3 = -2x_0^3$

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$):

$0 = (3x_0^2)x - 2x_0^3$

$(3x_0^2)x = 2x_0^3$

Так как по условию $x_0 > 0$, то $x_0 \neq 0$. Можем разделить обе части на $3x_0^2$:

$x_{int} = \frac{2x_0^3}{3x_0^2} = \frac{2}{3}x_0$

Вершины треугольника, отсекаемого касательной от осей, находятся в точках $(0, 0)$, $(x_{int}, 0)$ и $(0, y_{int})$. Длины катетов этого треугольника равны $|x_{int}|$ и $|y_{int}|$.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} |x_{int}| \cdot |y_{int}| = \frac{1}{2} \left|\frac{2}{3}x_0\right| \cdot |-2x_0^3|$

Учитывая, что $x_0>0$, модули можно раскрыть:

$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}x_0\right) \cdot (2x_0^3) = \frac{2}{3}x_0^4$

По условию задачи, площадь треугольника равна $\frac{2}{3}$. Приравняем полученное выражение для площади к этому значению:

$\frac{2}{3}x_0^4 = \frac{2}{3}$

$x_0^4 = 1$

Так как $x_0 > 0$, единственным решением является $x_0 = 1$.

Теперь подставим $x_0=1$ в общее уравнение касательной $y = (3x_0^2)x - 2x_0^3$, чтобы найти искомое уравнение:

$y = (3 \cdot 1^2)x - 2 \cdot 1^3$

$y = 3x - 2$

Ответ: $y=3x-2$

б)

Воспользуемся результатами, полученными в пункте а). Уравнение касательной в точке $x_0$: $y = (3x_0^2)x - 2x_0^3$. Точки пересечения с осями: $x_{int} = \frac{2}{3}x_0$ и $y_{int} = -2x_0^3$.

Площадь отсекаемого треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} |x_{int}| \cdot |y_{int}| = \frac{1}{2} \left|\frac{2}{3}x_0\right| \cdot |-2x_0^3| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} |x_0| \cdot 2 |x_0^3| = \frac{2}{3}|x_0^4|$

Так как $x_0^4$ всегда неотрицательно, то $|x_0^4| = x_0^4$. Формула для площади не зависит от знака $x_0$:

$S = \frac{2}{3}x_0^4$

По условию этого пункта, $S = \frac{27}{8}$. Составим уравнение:

$\frac{2}{3}x_0^4 = \frac{27}{8}$

Выразим $x_0^4$:

$x_0^4 = \frac{27}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{16}$

Извлечем корень четвертой степени:

$x_0 = \pm \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \pm \frac{3}{2}$

По условию, $x < 0$, следовательно, выбираем $x_0 = -\frac{3}{2}$.

Подставим это значение $x_0$ в общее уравнение касательной $y = (3x_0^2)x - 2x_0^3$:

$x_0^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

$x_0^3 = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8}$

$y = \left(3 \cdot \frac{9}{4}\right)x - 2\left(-\frac{27}{8}\right)$

$y = \frac{27}{4}x + \frac{54}{8}$

$y = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$

Ответ: $y=\frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$