Номер 29.31, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.31, страница 110.

29.31 Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{x^2}, x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{9}{8}$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашей задаче дана функция $y = f(x) = \frac{1}{x^2}$ при условии $x < 0$. Сначала найдем производную этой функции: $f'(x) = (\frac{1}{x^2})' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Теперь составим уравнение касательной в произвольной точке $x_0$, где $x_0 < 0$. Значение функции в этой точке: $f(x_0) = \frac{1}{x_0^2}$. Значение производной в этой точке: $f'(x_0) = -\frac{2}{x_0^3}$.

Подставим эти выражения в общую формулу уравнения касательной: $y = \frac{1}{x_0^2} + (-\frac{2}{x_0^3})(x - x_0)$ Раскроем скобки и упростим выражение: $y = \frac{1}{x_0^2} - \frac{2}{x_0^3}x + \frac{2x_0}{x_0^3}$ $y = -\frac{2}{x_0^3}x + \frac{1}{x_0^2} + \frac{2}{x_0^2}$ $y = -\frac{2}{x_0^3}x + \frac{3}{x_0^2}$ Это уравнение касательной в общем виде для любой точки $x_0 < 0$.

Далее найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить катеты треугольника. 1. Пересечение с осью ординат (OY): для этого полагаем $x = 0$. $y_{OY} = -\frac{2}{x_0^3} \cdot 0 + \frac{3}{x_0^2} = \frac{3}{x_0^2}$. Так как $x_0^2 > 0$, то $y_{OY} > 0$. Длина отрезка, отсекаемого на оси OY, равна $\frac{3}{x_0^2}$.

2. Пересечение с осью абсцисс (OX): для этого полагаем $y = 0$. $0 = -\frac{2}{x_0^3}x_{OX} + \frac{3}{x_0^2}$ $\frac{2}{x_0^3}x_{OX} = \frac{3}{x_0^2}$ $x_{OX} = \frac{3}{x_0^2} \cdot \frac{x_0^3}{2} = \frac{3}{2}x_0$. По условию $x_0 < 0$, следовательно, $x_{OX} < 0$. Длина отрезка, отсекаемого на оси OX, равна модулю этой величины: $|x_{OX}| = |\frac{3}{2}x_0| = -\frac{3}{2}x_0$.

Касательная отсекает от осей координат прямоугольный треугольник, катеты которого равны найденным длинам отрезков. Площадь этого треугольника $S$ равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot |x_{OX}| \cdot y_{OY} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{2}x_0) \cdot (\frac{3}{x_0^2})$ $S = \frac{-9x_0}{4x_0^2} = \frac{-9}{4x_0}$.

По условию задачи, площадь треугольника равна $\frac{9}{8}$. Приравняем полученное выражение для площади к этому значению и найдем $x_0$: $\frac{-9}{4x_0} = \frac{9}{8}$ Разделим обе части уравнения на 9: $\frac{-1}{4x_0} = \frac{1}{8}$ Отсюда следует, что $4x_0 = -8$, и $x_0 = -2$. Это значение удовлетворяет исходному условию $x_0 < 0$.

Мы нашли абсциссу точки касания $x_0 = -2$. Теперь подставим это значение в полученное ранее уравнение касательной $y = -\frac{2}{x_0^3}x + \frac{3}{x_0^2}$: $y = -\frac{2}{(-2)^3}x + \frac{3}{(-2)^2}$ $y = -\frac{2}{-8}x + \frac{3}{4}$ $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$