Номер 29.33, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.33, страница 110.

29.33 a) Найдите все значения $a$, при каждом из которых касательная к графику функции $y = \cos 7x + 7 \cos x$ в точках с абсциссой $a$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $\frac{\pi}{6}$.

б) Найдите все значения $a$, при каждом из которых касательные к графикам функций $y = 2 - 14 \sin 3x$ и $y = 6 \sin 7x$ в точках с абсциссой $a$ параллельны.

а)

Условие параллельности касательных к графику функции в двух точках заключается в равенстве угловых коэффициентов этих касательных. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке.

Дана функция $y = \cos(7x) + 7\cos(x)$.

Найдем ее производную: $y' = (\cos(7x) + 7\cos(x))' = -\sin(7x) \cdot (7x)' - 7\sin(x) = -7\sin(7x) - 7\sin(x)$.

Касательная в точке с абсциссой $a$ параллельна касательной в точке с абсциссой $\frac{\pi}{6}$. Это означает, что значения производной в этих точках равны: $y'(a) = y'(\frac{\pi}{6})$.

Сначала вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$: $y'(\frac{\pi}{6}) = -7\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6}) - 7\sin(\frac{\pi}{6})$.

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Для вычисления $\sin(\frac{7\pi}{6})$ представим угол как $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$. Тогда $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения: $y'(\frac{\pi}{6}) = -7(-\frac{1}{2}) - 7(\frac{1}{2}) = \frac{7}{2} - \frac{7}{2} = 0$.

Теперь решим уравнение $y'(a) = 0$: $-7\sin(7a) - 7\sin(a) = 0$. Разделим обе части на -7: $\sin(7a) + \sin(a) = 0$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2\sin\frac{7a+a}{2}\cos\frac{7a-a}{2} = 0$. $2\sin(4a)\cos(3a) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin(4a) = 0$. $4a = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа). $a = \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(3a) = 0$. $3a = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $a = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба решения, получаем все искомые значения $a$.

Ответ: $a = \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$; $a = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Касательные к графикам двух функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ в точках с одинаковой абсциссой $a$ параллельны, если их угловые коэффициенты в этой точке равны. Это означает, что значения их производных в точке $a$ равны: $y_1'(a) = y_2'(a)$.

Даны две функции: $y_1 = 2 - 14\sin(3x)$ и $y_2 = 6\sin(7x)$.

Найдем их производные: $y_1' = (2 - 14\sin(3x))' = -14\cos(3x) \cdot (3x)' = -42\cos(3x)$. $y_2' = (6\sin(7x))' = 6\cos(7x) \cdot (7x)' = 42\cos(7x)$.

Приравняем значения производных в точке $a$: $y_1'(a) = y_2'(a)$. $-42\cos(3a) = 42\cos(7a)$.

Разделим обе части уравнения на 42: $-\cos(3a) = \cos(7a)$. $\cos(7a) + \cos(3a) = 0$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2\cos\frac{7a+3a}{2}\cos\frac{7a-3a}{2} = 0$. $2\cos(5a)\cos(2a) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(5a) = 0$. $5a = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $a = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2a) = 0$. $2a = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба решения, получаем все искомые значения $a$.

Ответ: $a = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$; $a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.