Номер 29.32, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.32, страница 110.

29.32 Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$, которые пересекаются под углом $120^\circ$ в точке, лежащей на оси $y$.

Дана функция $y = f(x) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$. Требуется составить уравнения касательных к графику этой функции, которые пересекаются на оси $y$ под углом $120^\circ$.

Сначала найдем производную функции, которая определяет угловой коэффициент касательной в каждой точке:

$f'(x) = \left(\frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)\right)' = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x$.

Поскольку функция $f(x)$ является четной (ее график симметричен относительно оси $y$), а касательные по условию пересекаются на оси $y$, то точки касания также должны быть симметричны относительно оси $y$. Обозначим их абсциссы как $x_0$ и $-x_0$ (для $x_0 \neq 0$).

Угловые коэффициенты касательных в этих точках будут равны:

$k_1 = f'(x_0) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0$

$k_2 = f'(-x_0) = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0$.

Заметим, что $k_2 = -k_1$.

Угол между прямыми по условию равен $120^\circ$. Формула для тангенса угла $\alpha$ между двумя прямыми: $\tan\alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$. Эта формула дает острый угол. Острый угол, соответствующий тупому углу $120^\circ$, равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Тангенс этого угла $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Подставим наши угловые коэффициенты в формулу:

$\sqrt{3} = \left| \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 - (-\frac{\sqrt{3}}{3}x_0)}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3}x_0)(\frac{\sqrt{3}}{3}x_0)} \right| = \left| \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}x_0}{1 - \frac{1}{3}x_0^2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}x_0}{3 - x_0^2} \right|$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$1 = \left| \frac{2x_0}{3 - x_0^2} \right|$, что эквивалентно $|3 - x_0^2| = |2x_0|$.

Будем искать положительные значения $x_0$ (второе значение будет $-x_0$). Тогда $|2x_0| = 2x_0$, и уравнение принимает вид $|3 - x_0^2| = 2x_0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $3 - x_0^2 = 2x_0 \implies x_0^2 + 2x_0 - 3 = 0$. Корни: $x_0 = 1$ и $x_0 = -3$. Положительный корень $x_0 = 1$.

2) $3 - x_0^2 = -2x_0 \implies x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$. Корни: $x_0 = 3$ и $x_0 = -1$. Положительный корень $x_0 = 3$.

Мы получили два возможных набора абсцисс точек касания: $\{\pm 1\}$ и $\{\pm 3\}$. Для каждого набора найдем пару уравнений касательных.

Первая пара касательных (в точках $x = \pm 1$)

Точки касания имеют абсциссы $x_0 = \pm 1$. Ордината в этих точках $y_0 = f(\pm 1) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - 1^2) = 0$. Точки касания: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.Угловые коэффициенты: $k_1 = f'(1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $k_2 = f'(-1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.Уравнения касательных:

Для точки $(1, 0)$ и $k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$: $y - 0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1) \implies y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для точки $(-1, 0)$ и $k_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $y - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1) \implies y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вторая пара касательных (в точках $x = \pm 3$)

Точки касания имеют абсциссы $x_0 = \pm 3$. Ордината в этих точках $y_0 = f(\pm 3) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - 3^2) = \frac{\sqrt{3}}{6}(-8) = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Точки касания: $(3, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$ и $(-3, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$.Угловые коэффициенты: $k_1 = f'(3) = -\sqrt{3}$ и $k_2 = f'(-3) = \sqrt{3}$.Уравнения касательных:

Для точки $(3, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$ и $k_1 = -\sqrt{3}$: $y - (-\frac{4\sqrt{3}}{3}) = -\sqrt{3}(x - 3) \implies y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \implies y = -\sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Для точки $(-3, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$ и $k_2 = \sqrt{3}$: $y - (-\frac{4\sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3}(x + 3) \implies y = \sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \implies y = \sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: Существуют две пары касательных, удовлетворяющих условию:$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$y = -\sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{3}$ и $y = \sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{3}$.