Номер 30.1, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.1, страница 111.

30.1 Определите, какой знак имеет производная функции $y = f(x)$ в точках с абсциссами $a, b, c, d$, если график функции изображён на рисунках:

а) рис. 47;

б) рис. 48.

Геометрический смысл производной функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ заключается в том, что значение производной $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Знак производной напрямую связан с поведением функции (возрастанием или убыванием) в окрестности данной точки.

• Если функция $f(x)$ возрастает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале положительна ($f'(x) > 0$). Касательная к графику в таких точках образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
• Если функция $f(x)$ убывает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале отрицательна ($f'(x) < 0$). Касательная к графику в таких точках образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
• В точках экстремума (локальных максимумов и минимумов), где функция меняет направление своего монотонного движения, касательная к графику горизонтальна. Угловой коэффициент такой касательной равен нулю, следовательно, и производная в этих точках равна нулю ($f'(x) = 0$).

Проанализируем знаки производной для каждого графика.

а) рис. 47

На основе графика, представленного на рисунке 47, определим поведение функции в заданных точках:

• В точке с абсциссой $a$ график функции идет вверх, то есть функция возрастает. Следовательно, $f'(a) > 0$.
• В точке с абсциссой $b$ график функции идет вниз, то есть функция убывает. Следовательно, $f'(b) < 0$.
• В точке с абсциссой $c$ график функции снова идет вверх, то есть функция возрастает. Следовательно, $f'(c) > 0$.
• В точке с абсциссой $d$ график функции идет вниз, то есть функция убывает. Следовательно, $f'(d) < 0$.

Ответ: $f'(a) > 0$, $f'(b) < 0$, $f'(c) > 0$, $f'(d) < 0$.

б) рис. 48

На основе графика, представленного на рисунке 48, определим поведение функции в заданных точках:

• В точке с абсциссой $a$ график функции идет вниз, то есть функция убывает. Следовательно, $f'(a) < 0$.
• Точка с абсциссой $b$ является точкой локального минимума. В этой точке касательная к графику горизонтальна. Следовательно, $f'(b) = 0$.
• В точке с абсциссой $c$ график функции идет вверх, то есть функция возрастает. Следовательно, $f'(c) > 0$.
• Точка с абсциссой $d$ является точкой локального максимума. В этой точке касательная к графику также горизонтальна. Следовательно, $f'(d) = 0$.

Ответ: $f'(a) < 0$, $f'(b) = 0$, $f'(c) > 0$, $f'(d) = 0$.