Номер 30.8, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.8, страница 115.

30.8 Изобразите эскиз графика функции $y = f(x)$, если промежутки постоянства знака производной $f'(x)$ представлены на заданной схеме:

а) рис. 60;

Над осью: +   -   +

Точки на оси: $-4$, $3$. Ось: $x$.

Puc. 60

б) рис. 61;

Над осью: -   +   -   +

Точки на оси: $0$, $2$, $5$. Ось: $x$.

Puc. 61

б) рис. 62;

Над осью: +   -   +   -

Точки на оси: $-2$, $4$, $7$. Ось: $x$.

Puc. 62

г) рис. 63.

Над осью: +   +   -   +   -

Точки на оси: $-1$, $0$, $1$, $2$. Ось: $x$.

Puc. 63

а) рис. 60

Проанализируем знаки производной $f'(x)$, представленные на схеме (рис. 60). Знак производной функции определяет промежутки ее монотонности (возрастания и убывания).

• На промежутке $(-\infty, -4)$ имеем $f'(x) > 0$, следовательно, на этом промежутке функция $y = f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(-4, 3)$ имеем $f'(x) < 0$, следовательно, на этом промежутке функция $y = f(x)$ убывает.
• На промежутке $(3, +\infty)$ имеем $f'(x) > 0$, следовательно, на этом промежутке функция $y = f(x)$ снова возрастает.

Точки, в которых производная меняет знак, являются точками экстремума функции.

• В точке $x = -4$ знак производной меняется с «+» на «−», значит, это точка локального максимума.
• В точке $x = 3$ знак производной меняется с «−» на «+», значит, это точка локального минимума.

Эскиз графика функции $y=f(x)$ представляет собой кривую, которая возрастает из $-\infty$ до точки $x=-4$, где достигает своего локального максимума. Затем функция убывает до точки $x=3$, где находится ее локальный минимум. После точки $x=3$ функция снова начинает возрастать. График напоминает кубическую параболу.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[3, +\infty)$, убывает на промежутке $[-4, 3]$. Точка $x=-4$ является точкой максимума, а точка $x=3$ — точкой минимума. Эскиз графика: кривая поднимается до пика при $x=-4$, затем опускается до впадины при $x=3$ и снова поднимается.

---

б) рис. 61

Анализируем знаки производной $f'(x)$ на схеме (рис. 61).

• На промежутке $(-\infty, 0)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
• На промежутке $(0, 2)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(2, 5)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
• На промежутке $(5, +\infty)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.

Определим точки экстремума:

• В точке $x = 0$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 5$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это еще одна точка локального минимума.

Эскиз графика функции $y=f(x)$ будет иметь W-образную форму. Функция убывает до точки $x=0$ (локальный минимум), затем возрастает до $x=2$ (локальный максимум), снова убывает до $x=5$ (второй локальный минимум) и после этого возрастает до $+\infty$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[0, 2]$ и $[5, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, 5]$. Точки $x=0$ и $x=5$ — точки минимума, точка $x=2$ — точка максимума. Эскиз графика: кривая опускается до впадины при $x=0$, поднимается до пика при $x=2$, снова опускается до впадины при $x=5$ и затем поднимается.

---

б) рис. 62

Анализируем знаки производной $f'(x)$ на схеме (рис. 62).

• На промежутке $(-\infty, -2)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(-2, 4)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
• На промежутке $(4, 7)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(7, +\infty)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.

Определим точки экстремума:

• В точке $x = -2$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 4$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 7$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это еще одна точка локального максимума.

Эскиз графика функции $y=f(x)$ будет иметь M-образную форму. Функция возрастает до точки $x=-2$ (локальный максимум), затем убывает до $x=4$ (локальный минимум), снова возрастает до $x=7$ (второй локальный максимум) и после этого убывает до $-\infty$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[4, 7]$, убывает на промежутках $[-2, 4]$ и $[7, +\infty)$. Точки $x=-2$ и $x=7$ — точки максимума, точка $x=4$ — точка минимума. Эскиз графика: кривая поднимается до пика при $x=-2$, опускается до впадины при $x=4$, снова поднимается до пика при $x=7$ и затем опускается.

---

г) рис. 63

Анализируем знаки производной $f'(x)$ на схеме (рис. 63).

• На промежутках $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает на всем промежутке $(-\infty, 0)$.
• На промежутке $(0, 1)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
• На промежутке $(1, 2)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(2, +\infty)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.

Определим характер критических точек:

• В точке $x = -1$ знак производной не меняется («+» на «+»). Это означает, что в этой точке нет экстремума. Если предположить, что $f'(-1)=0$, то это точка перегиба с горизонтальной касательной (седловая точка).
• В точке $x = 0$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

Эскиз графика: функция возрастает, в точке $x=-1$ имеет перегиб (например, на мгновение становится горизонтальной, но продолжает расти), достигает локального максимума в точке $x=0$, затем убывает до локального минимума в точке $x=1$, снова возрастает до локального максимума в точке $x=2$ и после этого убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, 2]$, убывает на промежутках $[0, 1]$ и $[2, +\infty)$. Точка $x=-1$ — точка перегиба, точки $x=0$ и $x=2$ — точки максимума, точка $x=1$ — точка минимума. Эскиз графика: кривая поднимается, в точке $x=-1$ "выравнивается" и продолжает подъем до пика при $x=0$, затем опускается до впадины при $x=1$, поднимается до второго пика при $x=2$ и снова опускается.