Номер 30.12, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.12, страница 115.

30.12 Определите промежутки монотонности функции:

a) $y = x^2 - 5x + 4;$

б) $y = 5x^2 + 15x - 1;$

в) $y = -x^2 + 8x - 7;$

г) $y = x^2 - x.$

а) $y = x^2 - 5x + 4$

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -5$, $c = 4$. Ее график — парабола.

Так как старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция сначала убывает до вершины, а затем возрастает.

Точкой смены монотонности является вершина параболы. Найдем ее абсциссу по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2.5]$ и возрастает на промежутке $[2.5; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 2.5]$ и возрастает на промежутке $[2.5; +\infty)$.

б) $y = 5x^2 + 15x - 1$

Это квадратичная функция, где $a = 5$, $b = 15$, $c = -1$. График — парабола.

Поскольку старший коэффициент $a = 5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция сначала убывает, а после вершины — возрастает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{15}{2 \cdot 5} = -\frac{15}{10} = -1.5$.

Промежуток убывания функции: $(-\infty; -1.5]$. Промежуток возрастания функции: $[-1.5; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$ и возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

в) $y = -x^2 + 8x - 7$

Это квадратичная функция, где $a = -1$, $b = 8$, $c = -7$. График — парабола.

Так как старший коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция сначала возрастает до вершины, а затем убывает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$ и убывает на промежутке $[4; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$ и убывает на промежутке $[4; +\infty)$.

г) $y = x^2 - x$

Это квадратичная функция, где $a = 1$, $b = -1$, $c = 0$. График — парабола.

Поскольку старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция сначала убывает, а затем возрастает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Промежуток убывания функции: $(-\infty; 0.5]$. Промежуток возрастания функции: $[0.5; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и возрастает на промежутке $[0.5; +\infty)$.