Номер 30.11, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.11, страница 115.

30.11 Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой;

укажите характер монотонности:

a) $y = x^5 + 6x^3 - 7$;

б) $y = \sin x - 2x - 15$;

в) $y = x - \cos x + 8$;

г) $y = 11 - 5x - x^3$.

а) $y = x^5 + 6x^3 - 7$

Для того чтобы доказать, что функция монотонна на всей числовой прямой, и определить характер монотонности, найдем ее производную. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x^5 + 6x^3 - 7)' = 5x^4 + 18x^2$.

Теперь проанализируем знак производной. Так как переменная $x$ возводится в четные степени (4 и 2), слагаемые $5x^4$ и $18x^2$ являются неотрицательными для любого действительного значения $x$:

$x^4 \ge 0 \implies 5x^4 \ge 0$

$x^2 \ge 0 \implies 18x^2 \ge 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна:

$y' = 5x^4 + 18x^2 \ge 0$ для всех $x \in R$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю: $5x^4 + 18x^2 = 0 \implies x^2(5x^2 + 18) = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$, так как выражение в скобках $5x^2+18$ всегда положительно.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль только в одной изолированной точке, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

б) $y = \sin x - 2x - 15$

Найдем производную функции. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (\sin x - 2x - 15)' = \cos x - 2$.

Проанализируем знак производной. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$ для любого действительного $x$.

Вычтем 2 из всех частей этого неравенства, чтобы оценить значение производной:

$-1 - 2 \le \cos x - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le y' \le -1$

Так как производная $y'(x)$ всегда отрицательна (ее значения лежат в диапазоне от -3 до -1), функция является строго убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

в) $y = x - \cos x + 8$

Найдем производную функции. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x - \cos x + 8)' = 1 - (-\sin x) + 0 = 1 + \sin x$.

Проанализируем знак производной. Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого действительного $x$.

Прибавим 1 ко всем частям этого неравенства, чтобы оценить значение производной:

$1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$

$0 \le y' \le 2$

Производная $y'(x)$ неотрицательна для всех $x$. Она обращается в ноль в точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$. Так как производная неотрицательна и обращается в ноль только в изолированных точках (а не на целом интервале), функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

г) $y = 11 - 5x - x^3$

Найдем производную функции. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (11 - 5x - x^3)' = 0 - 5 - 3x^2 = -5 - 3x^2$.

Проанализируем знак производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $-3x^2 \le 0$.

Тогда для всей производной имеем: $y' = -5 - 3x^2 \le -5$.

Так как производная $y'(x)$ всегда отрицательна (ее значение не превышает -5) для всех значений $x$ на числовой прямой, функция является строго убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно убывает на всей числовой прямой.