Номер 30.18, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.18, страница 116.

30.18 a) $y = 7x - \cos 2x$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3\operatorname{tg}x$ возрастает на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$;

в) $y = -\operatorname{ctg}x$ возрастает на $(0; \pi)$;

г) $y = 10x + \sin 3x$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

а)

Для того чтобы доказать, что функция $y = 7x - \cos(2x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, необходимо найти ее производную и показать, что она положительна для любого $x$ из этого промежутка. Функция дифференцируема на всей числовой прямой.

Найдем производную функции $y(x)$, используя правила дифференцирования:

$y' = (7x - \cos(2x))' = (7x)' - (\cos(2x))' = 7 - (-\sin(2x) \cdot (2x)') = 7 + 2\sin(2x)$.

Теперь оценим знак производной. Область значений функции синус: $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$ для любого $\alpha$. Следовательно, для $\sin(2x)$ также выполняется:

$-1 \le \sin(2x) \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le 2\sin(2x) \le 2$.

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$7 - 2 \le 7 + 2\sin(2x) \le 7 + 2$,

$5 \le y' \le 9$.

Так как производная $y'$ всегда находится в пределах от 5 до 9, она всегда строго положительна ($y' > 0$) для любого действительного $x$. Согласно достаточному условию возрастания функции, если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $y' = 7 + 2\sin(2x) > 0$ на всей числовой прямой, так как $5 \le 7 + 2\sin(2x) \le 9$. Это доказывает, что функция $y = 7x - \cos(2x)$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б)

Чтобы доказать, что функция $y = 3\tg x$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, найдем ее производную. Функция определена и дифференцируема на данном интервале.

Производная функции $y(x)$:

$y' = (3\tg x)' = 3 \cdot (\tg x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x}$.

Проанализируем знак производной на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Числитель дроби равен 3, что является положительным числом.

Знаменатель дроби $\cos^2 x$. Для любого $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ значение $\cos x$ отлично от нуля. Так как квадрат любого ненулевого числа положителен, $\cos^2 x > 0$ на данном интервале.

Таким образом, производная $y' = \frac{3}{\cos^2 x}$ является отношением положительного числа к положительному числу, а значит, $y' > 0$ для всех $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{3}{\cos^2 x} > 0$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что доказывает, что функция $y = 3\tg x$ возрастает на этом интервале.

в)

Чтобы доказать, что функция $y = -\ctg x$ возрастает на интервале $(0; \pi)$, найдем ее производную. Функция определена и дифференцируема на данном интервале.

Производная функции $y(x)$:

$y' = (-\ctg x)' = -(\ctg x)' = -(-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Проанализируем знак производной на интервале $(0; \pi)$.

Числитель дроби равен 1, что является положительным числом.

Знаменатель дроби $\sin^2 x$. Для любого $x$ из интервала $(0; \pi)$ значение $\sin x$ отлично от нуля. Так как квадрат любого ненулевого числа положителен, $\sin^2 x > 0$ на данном интервале.

Таким образом, производная $y' = \frac{1}{\sin^2 x}$ является отношением положительного числа к положительному числу, а значит, $y' > 0$ для всех $x \in (0; \pi)$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{1}{\sin^2 x} > 0$ на интервале $(0; \pi)$, что доказывает, что функция $y = -\ctg x$ возрастает на этом интервале.

г)

Для того чтобы доказать, что функция $y = 10x + \sin(3x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, необходимо найти ее производную и показать, что она положительна для любого $x$. Функция дифференцируема на всей числовой прямой.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (10x + \sin(3x))' = (10x)' + (\sin(3x))' = 10 + \cos(3x) \cdot (3x)' = 10 + 3\cos(3x)$.

Теперь оценим знак производной. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$ для любого $\alpha$. Следовательно, для $\cos(3x)$ также выполняется:

$-1 \le \cos(3x) \le 1$.

Умножим все части неравенства на 3:

$-3 \le 3\cos(3x) \le 3$.

Прибавим 10 ко всем частям неравенства:

$10 - 3 \le 10 + 3\cos(3x) \le 10 + 3$,

$7 \le y' \le 13$.

Так как производная $y'$ всегда находится в пределах от 7 до 13, она всегда строго положительна ($y' > 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = 10 + 3\cos(3x) > 0$ на всей числовой прямой, так как $7 \le 10 + 3\cos(3x) \le 13$. Это доказывает, что функция $y = 10x + \sin(3x)$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$.