Номер 30.22, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.22, страница 117.

30.22 a) $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ убывает на $(-2; +\infty)$;

б) $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ убывает на $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

а) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ убывает на интервале $(-2; +\infty)$, найдем ее производную и определим ее знак на этом интервале. Функция является убывающей на некотором интервале, если ее производная на всем этом интервале отрицательна ($y' < 0$).

Область определения функции задается условием $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Таким образом, интервал $(-2; +\infty)$ полностью входит в область определения функции.

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = 3x + 7$ и $v(x) = x + 2$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = 3$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(3x + 7)'(x + 2) - (3x + 7)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{3(x + 2) - (3x + 7) \cdot 1}{(x + 2)^2}$

Теперь упростим полученное выражение:

$y' = \frac{3x + 6 - 3x - 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$

Проанализируем знак производной на заданном интервале $(-2; +\infty)$.

Числитель дроби равен $-1$, что является отрицательным числом.

Знаменатель дроби, $(x + 2)^2$, представляет собой квадрат выражения. Для любого значения $x$ из интервала $(-2; +\infty)$, выражение $x+2$ будет положительным, а значит, его квадрат $(x+2)^2$ будет строго положительным.

Таким образом, производная $y'$ является отношением отрицательного числа к положительному, что означает, что $y' < 0$ для всех $x \in (-2; +\infty)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем интервале $(-2; +\infty)$, это доказывает, что функция $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ убывает на этом интервале.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ убывает на интервале $(-\infty; -\frac{1}{2})$, мы также найдем ее производную и проанализируем ее знак на этом интервале.

Область определения функции определяется условием $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{2}$. Интервал $(-\infty; -\frac{1}{2})$ входит в область определения функции.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u(x) = -4x + 1$ и $v(x) = 2x + 1$.

Их производные: $u'(x) = -4$ и $v'(x) = 2$.

Применяем формулу производной частного:

$y' = \frac{(-4x + 1)'(2x + 1) - (-4x + 1)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2} = \frac{-4(2x + 1) - (-4x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$

Упрощаем выражение в числителе:

$y' = \frac{-8x - 4 - (-8x + 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x - 4 + 8x - 2}{(2x + 1)^2} = \frac{-6}{(2x + 1)^2}$

Теперь определим знак производной на интервале $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

Числитель дроби равен $-6$, что является отрицательным числом.

Знаменатель $(2x + 1)^2$ — это квадрат выражения, который всегда неотрицателен. Поскольку на рассматриваемом интервале $x \neq -\frac{1}{2}$, знаменатель будет строго положительным.

Следовательно, производная $y'$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, а значит, $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; -\frac{1}{2})$.

Так как производная функции отрицательна на всем указанном интервале, функция $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ убывает на этом интервале.

Ответ: Утверждение доказано.