Номер 30.29, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.29, страница 117.
№30.29 (с. 117)
Условие. №30.29 (с. 117)
скриншот условия



30.29 По графику функции $y = f(x)$, изображённому на рисунке, определите точки, в которых $f'(x)$ не существует:
а) рис. 64;
б) рис. 65;
в) рис. 66;
г) рис. 67.
Рис. 64
Рис. 65
Рис. 66
Рис. 67
Решение 1. №30.29 (с. 117)

Решение 2. №30.29 (с. 117)

Решение 3. №30.29 (с. 117)

Решение 5. №30.29 (с. 117)


Решение 6. №30.29 (с. 117)
Производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемая как $f'(x_0)$, с геометрической точки зрения представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Производная существует, если в точке $(x_0, f(x_0))$ можно провести единственную невертикальную касательную. Это означает, что график в данной точке должен быть "гладким".
Производная $f'(x)$ не существует в точках, где график функции имеет:
- Точки излома («острые углы»). В таких точках у графика нет единой касательной; касательные, проведённые с левой и с правой стороны, не совпадают (имеют разный наклон). Это означает, что левосторонняя и правосторонняя производные в этой точке не равны.
- Точки возврата (каспы). Это особый вид «заострения» графика, в котором касательные с обеих сторон стремятся к одной вертикальной прямой. Производная в таких точках также не существует.
- Вертикальную касательную. Наклон вертикальной прямой не определён, поэтому производная в такой точке не существует.
На всех представленных рисунках функции непрерывны, поэтому отсутствие производной связано именно с наличием "острых" точек на графиках.
а) рис. 64;На данном графике функция является гладкой во всех точках, кроме точки $e$. В точках $b$ и $d$ расположены локальные экстремумы (максимум и минимум), где касательная к графику горизонтальна, а производная равна нулю ($f'(b) = 0$ и $f'(d) = 0$), то есть существует. В точке $e$ график имеет заострение типа касп (точка возврата), в котором невозможно провести единственную касательную. Следовательно, в точке $e$ производная не существует.
Ответ: $e$.
б) рис. 65;График функции в точках $a$, $b$ и $c$ имеет изломы. В каждой из этих точек касательная к графику слева имеет один наклон, а справа — другой.
- В точке $a$ (локальный минимум) наклон графика меняется с отрицательного на положительный.
- В точке $b$ (локальный максимум) наклон графика меняется с положительного на отрицательный.
- В точке $c$ (локальный минимум) наклон снова меняется с отрицательного на положительный.
Поскольку в каждой из этих точек левосторонняя и правосторонняя производные не равны, производная не существует.
Ответ: $a, b, c$.
в) рис. 66;В точках $a$ и $O$ (начало координат) находятся гладкие локальные минимумы. Касательная в этих точках горизонтальна, производная существует и равна нулю. В точках $b$ и $c$ график имеет заострения (каспы). В этих точках, как и в точке $e$ на рис. 64, производная не существует.
Ответ: $b, c$.
г) рис. 67.График этой функции представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезков прямых. Производная такой функции не существует в точках излома, где меняется наклон прямой (то есть где соединяются отрезки с разными угловыми коэффициентами).
- В точке $a$ происходит излом: наклон графика меняется (прямая становится круче).
- В точках $b$ и $d$ находятся локальные максимумы (вершины «зубцов»).
- В точках $c$ и $e$ находятся локальные минимумы (впадины).
Все эти точки — $a, b, c, d, e$ — являются точками излома графика, в которых производная не существует, так как наклон графика слева не равен наклону справа.
Ответ: $a, b, c, d, e$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 30.29 расположенного на странице 117 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №30.29 (с. 117), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.