Номер 30.29, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §30. Исследование функций на монотонность и экстремумы - номер 30.29, страница 117.

Условие.

30.29 По графику функции $y = f(x)$, изображённому на рисунке, определите точки, в которых $f'(x)$ не существует:

а) рис. 64;

б) рис. 65;

в) рис. 66;

г) рис. 67.

Рис. 64

Рис. 65

Рис. 66

Рис. 67

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемая как $f'(x_0)$, с геометрической точки зрения представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Производная существует, если в точке $(x_0, f(x_0))$ можно провести единственную невертикальную касательную. Это означает, что график в данной точке должен быть "гладким".

Производная $f'(x)$ не существует в точках, где график функции имеет:

• Точки излома («острые углы»). В таких точках у графика нет единой касательной; касательные, проведённые с левой и с правой стороны, не совпадают (имеют разный наклон). Это означает, что левосторонняя и правосторонняя производные в этой точке не равны.
• Точки возврата (каспы). Это особый вид «заострения» графика, в котором касательные с обеих сторон стремятся к одной вертикальной прямой. Производная в таких точках также не существует.
• Вертикальную касательную. Наклон вертикальной прямой не определён, поэтому производная в такой точке не существует.

На всех представленных рисунках функции непрерывны, поэтому отсутствие производной связано именно с наличием "острых" точек на графиках.

а) рис. 64;

На данном графике функция является гладкой во всех точках, кроме точки $e$. В точках $b$ и $d$ расположены локальные экстремумы (максимум и минимум), где касательная к графику горизонтальна, а производная равна нулю ($f'(b) = 0$ и $f'(d) = 0$), то есть существует. В точке $e$ график имеет заострение типа касп (точка возврата), в котором невозможно провести единственную касательную. Следовательно, в точке $e$ производная не существует.

Ответ: $e$.

б) рис. 65;

График функции в точках $a$, $b$ и $c$ имеет изломы. В каждой из этих точек касательная к графику слева имеет один наклон, а справа — другой.

• В точке $a$ (локальный минимум) наклон графика меняется с отрицательного на положительный.
• В точке $b$ (локальный максимум) наклон графика меняется с положительного на отрицательный.
• В точке $c$ (локальный минимум) наклон снова меняется с отрицательного на положительный.

Поскольку в каждой из этих точек левосторонняя и правосторонняя производные не равны, производная не существует.

Ответ: $a, b, c$.

в) рис. 66;

В точках $a$ и $O$ (начало координат) находятся гладкие локальные минимумы. Касательная в этих точках горизонтальна, производная существует и равна нулю. В точках $b$ и $c$ график имеет заострения (каспы). В этих точках, как и в точке $e$ на рис. 64, производная не существует.

Ответ: $b, c$.

г) рис. 67.

График этой функции представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезков прямых. Производная такой функции не существует в точках излома, где меняется наклон прямой (то есть где соединяются отрезки с разными угловыми коэффициентами).

• В точке $a$ происходит излом: наклон графика меняется (прямая становится круче).
• В точках $b$ и $d$ находятся локальные максимумы (вершины «зубцов»).
• В точках $c$ и $e$ находятся локальные минимумы (впадины).

Все эти точки — $a, b, c, d, e$ — являются точками излома графика, в которых производная не существует, так как наклон графика слева не равен наклону справа.

Ответ: $a, b, c, d, e$.