Номер 30.34, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.34, страница 119.

30.34 При каких значениях параметра a заданная функция имеет одну стационарную точку:

а) $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5;$

б) $y = x^3 - 3ax^2 + 75x - 10?$

а)

Стационарными точками функции называются точки, в которых её производная равна нулю. Для функции $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$ найдем производную:

$y' = (x^3 - 3ax^2 + 27x - 5)' = 3x^2 - 6ax + 27$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $3x^2 - 6ax + 27 = 0$.

Чтобы функция имела одну стационарную точку, это квадратное уравнение должно иметь ровно один корень. Для этого его дискриминант $D$ должен быть равен нулю. Упростим уравнение, разделив его на 3: $x^2 - 2ax + 9 = 0$.

Вычислим дискриминант этого уравнения, используя формулу $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 - 36$.

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:

$4a^2 - 36 = 0$
$4a^2 = 36$
$a^2 = 9$
$a = \pm 3$.

Ответ: $a = -3, a = 3$.

б)

Для функции $y = x^3 - 3ax^2 + 75x - 10$ проделаем аналогичные шаги. Найдем производную:

$y' = (x^3 - 3ax^2 + 75x - 10)' = 3x^2 - 6ax + 75$.

Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 6ax + 75 = 0$.

Данная функция будет иметь одну стационарную точку, если это квадратное уравнение имеет ровно один корень, то есть его дискриминант равен нулю. Упростим уравнение, разделив его на 3:

$x^2 - 2ax + 25 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 4a^2 - 100$.

Приравняем дискриминант к нулю и найдем значения $a$:

$4a^2 - 100 = 0$
$4a^2 = 100$
$a^2 = 25$
$a = \pm 5$.

Ответ: $a = -5, a = 5$.