Номер 30.40, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.40, страница 120.

30.40 a) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1;$

б) $y = x^3 - 27x + 26;$

В) $y = x^3 - 7x^2 - 5x + 11;$

Г) $y = -2x^3 + 21x^2 + 19.$

а) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1$

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

2. Найти критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

3. Исследовать знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую: $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$ и $(3, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, 2)$ (например, $x=0$): $y'(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
• При $x \in (2, 3)$ (например, $x=2.5$): $y'(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$, следовательно, функция убывает на этом промежутке.
• При $x \in (3, \infty)$ (например, $x=4$): $y'(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

4. Определить точки экстремума.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума: $x_{max} = 2$.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума: $x_{min} = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 2]$ и $[3, \infty)$, убывает на промежутке $[2, 3]$; точка максимума $x_{max} = 2$, точка минимума $x_{min} = 3$.

б) $y = x^3 - 27x + 26$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 27x + 26)' = 3x^2 - 27$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$3x^2 - 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

$x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, -3)$ (например, $x=-4$): $y'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-3, 3)$ (например, $x=0$): $y'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (3, \infty)$ (например, $x=4$): $y'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$, функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = -3$.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[3, \infty)$, убывает на промежутке $[-3, 3]$; точка максимума $x_{max} = -3$, точка минимума $x_{min} = 3$.

в) $y = x^3 - 7x^2 - 5x + 11$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 7x^2 - 5x + 11)' = 3x^2 - 14x - 5$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$3x^2 - 14x - 5 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4(3)(-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

Находим корни: $x = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$.

$x_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 5)$ и $(5, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, -1/3)$ (например, $x=-1$): $y'(-1) = 3(-1)^2 - 14(-1) - 5 = 3 + 14 - 5 = 12 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1/3, 5)$ (например, $x=0$): $y'(0) = 3(0)^2 - 14(0) - 5 = -5 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (5, \infty)$ (например, $x=6$): $y'(6) = 3(6)^2 - 14(6) - 5 = 108 - 84 - 5 = 19 > 0$, функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

В точке $x = -1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = -1/3$.

В точке $x=5$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = 5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1/3]$ и $[5, \infty)$, убывает на промежутке $[-1/3, 5]$; точка максимума $x_{max} = -1/3$, точка минимума $x_{min} = 5$.

г) $y = -2x^3 + 21x^2 + 19$

1. Находим производную функции:

$y' = (-2x^3 + 21x^2 + 19)' = -6x^2 + 42x$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-6x^2 + 42x = 0$

$-6x(x - 7) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 7$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 7)$ и $(7, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $y'(-1) = -6(-1)^2 + 42(-1) = -6 - 42 = -48 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0, 7)$ (например, $x=1$): $y'(1) = -6(1)^2 + 42(1) = -6 + 42 = 36 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (7, \infty)$ (например, $x=8$): $y'(8) = -6(8)^2 + 42(8) = -6(64) + 336 = -384 + 336 = -48 < 0$, функция убывает.

4. Определяем точки экстремума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = 0$.

В точке $x=7$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 7$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[7, \infty)$, возрастает на промежутке $[0, 7]$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 7$.