Номер 31.1, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §31. Построение графиков функций - номер 31.1, страница 121.

Условие.

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

31.1 а) Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$; точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для построения эскиза графика функции с заданными свойствами, проанализируем каждое из них:

1. Две точки максимума и одна точка минимума. Это означает, что на графике должно быть три экстремума. Чтобы между двумя максимумами существовал минимум, они должны чередоваться. То есть, график будет иметь вид "холм - впадина - холм".
2. Функция является ограниченной. Это значит, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $m \le f(x) \le M$. Графически это означает, что весь график функции лежит в горизонтальной полосе между прямыми $y=m$ и $y=M$. Это часто достигается за счет наличия у функции горизонтальных асимптот при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

Теперь построим эскиз, удовлетворяющий этим условиям.

Выберем конкретные координаты для точек экстремума и асимптоты. Пусть у функции будет горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to \pm\infty$.

• Пусть первая точка максимума будет в точке $A(-3, 4)$.
• Точка минимума — в точке $B(0, 1)$.
• Вторая точка максимума — в точке $C(3, 3)$.

Эскиз графика будет выглядеть следующим образом:

• При $x \to -\infty$ график функции приближается к оси абсцисс ($y=0$) сверху.
• С увеличением $x$ функция возрастает до точки максимума $A(-3, 4)$.
• После точки $A$ функция убывает до точки минимума $B(0, 1)$.
• От точки $B$ функция снова возрастает до второй точки максимума $C(3, 3)$. Заметим, что значение в этой точке максимума меньше, чем в первой.
• После точки $C$ функция убывает и снова приближается к горизонтальной асимптоте $y=0$ сверху при $x \to \infty$.

Таким образом, построенный график имеет два максимума и один минимум. Функция ограничена: все её значения лежат в промежутке $[1, 4]$, то есть $1 \le f(x) \le 4$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой волнистую линию, которая начинается от горизонтальной асимптоты $y=0$ слева, поднимается до первого максимума (например, в точке $(-3, 4)$), затем опускается до минимума (например, в точке $(0, 1)$), снова поднимается до второго, более низкого максимума (например, в точке $(3, 3)$) и затем снова опускается, приближаясь к асимптоте $y=0$ справа.

б)

Проанализируем условия для этой функции:

1. Функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$, и убывает на промежутке $[1; 5]$. Характер изменения монотонности (возрастание → убывание → возрастание) говорит о том, что в точке $x=1$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x=5$ — локальный минимум.
2. Точка $x=1$ является критической. Критическая точка — это внутренняя точка области определения, в которой производная функции равна нулю или не существует.
3. Точка $x=5$ — стационарная. Стационарная точка — это точка, в которой производная функции равна нулю ($f'(x)=0$). Это частный случай критической точки.

Чтобы наглядно показать различие между этими типами точек, мы можем построить график, у которого в точке максимума $x=1$ производная не существует (например, график имеет "излом" или "пик"), а в точке минимума $x=5$ производная равна нулю (график имеет гладкий изгиб с горизонтальной касательной).

Построим эскиз графика:

• На промежутке $(-\infty, 1]$ функция возрастает. Пусть она приходит из $-\infty$ и достигает своего локального максимума в точке $(1, 3)$. В этой точке нарисуем острый пик (излом), чтобы показать, что производная в $x=1$ не существует.
• На промежутке $[1; 5]$ функция убывает. От точки $(1, 3)$ график идет вниз до точки локального минимума. Пусть это будет точка $(5, -1)$.
• В точке $x=5$ у функции стационарная точка, поэтому в окрестности точки $(5, -1)$ график должен быть гладким, с горизонтальной касательной в самой нижней точке.
• На промежутке $[5, \infty)$ функция снова возрастает. От точки $(5, -1)$ график уходит вверх в $+\infty$.

Полученный эскиз удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Ответ: Эскиз графика начинается в левой нижней части координатной плоскости, возрастает до точки $(1, 3)$, где образует острый пик (в этой точке максимум, и она является критической, но не стационарной). Затем график убывает до точки $(5, -1)$, где плавно изгибается, имея горизонтальную касательную (в этой точке минимум, и она является стационарной). После этого график снова возрастает, уходя в правую верхнюю часть координатной плоскости.