Номер 30.43, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.43, страница 121.

30.43 a) $y = x - 2\sqrt{x - 2}$;

б) $y = 4\sqrt{2x - 1} - x$.

а) $y = x - 2\sqrt{x-2}$

Чтобы найти множество значений функции, сначала определим ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Таким образом, область определения функции $D(y) = [2, +\infty)$.

Для упрощения анализа функции введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-2}$. Поскольку корень арифметический, $t \ge 0$.

Из замены выразим $x$ через $t$:

$t^2 = x - 2 \implies x = t^2 + 2$.

Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{x-2}$ в исходную функцию, чтобы получить функцию $y$ от переменной $t$:

$y(t) = (t^2 + 2) - 2t = t^2 - 2t + 2$.

Мы получили квадратичную функцию от $t$ с областью определения $t \ge 0$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Найдем координаты вершины. Можно выделить полный квадрат:

$y(t) = (t^2 - 2t + 1) + 1 = (t-1)^2 + 1$.

Вершина параболы находится в точке $t=1$. Это значение входит в область определения $t \ge 0$.

Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно:

$y_{min} = (1-1)^2 + 1 = 1$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает все значения от своего минимума до $+\infty$. Таким образом, множество значений функции — это промежуток $[1, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [1, +\infty)$.

б) $y = 4\sqrt{2x-1} - x$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Введем замену переменной для нахождения множества значений. Пусть $t = \sqrt{2x-1}$. Условие для $t$ — $t \ge 0$.

Выразим $x$ через $t$:

$t^2 = 2x - 1 \implies 2x = t^2 + 1 \implies x = \frac{t^2+1}{2}$.

Подставим в исходную функцию:

$y(t) = 4t - \frac{t^2+1}{2} = \frac{8t - (t^2+1)}{2} = \frac{-t^2 + 8t - 1}{2} = -\frac{1}{2}t^2 + 4t - \frac{1}{2}$.

Мы получили квадратичную функцию от $t$ с областью определения $t \ge 0$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Для нахождения вершины выделим полный квадрат:

$y(t) = -\frac{1}{2}(t^2 - 8t) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t^2 - 8t + 16 - 16) - \frac{1}{2}$

$y(t) = -\frac{1}{2}((t-4)^2 - 16) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t-4)^2 + 8 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t-4)^2 + 7,5$.

Вершина параболы находится в точке $t=4$. Это значение входит в область определения $t \ge 0$.

Наибольшее значение функции достигается в вершине и равно:

$y_{max} = -\frac{1}{2}(4-4)^2 + 7,5 = 7,5$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает все значения от $-\infty$ до своего максимума. Таким образом, множество значений функции — это промежуток $(-\infty, 7,5]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 7,5]$.