Номер 30.36, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.36, страница 120.

30.36 Может ли иметь только одну точку экстремума:

а) чётная функция;

б) нечётная функция;

в) периодическая функция;

г) монотонная функция?

а) чётная функция;

Чётной называется функция $f(x)$, для которой при любом $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Предположим, что чётная функция имеет точку экстремума (локального максимума или минимума) в точке $x_0 \neq 0$. В силу симметрии графика относительно оси OY, функция также будет иметь экстремум того же типа и в точке $-x_0$. Например, если в точке $x_0$ находится локальный максимум, то в некоторой её окрестности выполняется $f(x) \le f(x_0)$. Тогда для любой точки $x$ из симметричной окрестности точки $-x_0$ будет выполняться $f(x) = f(-x)$, а так как $-x$ находится в окрестности $x_0$, то $f(-x) \le f(x_0)$. Учитывая, что $f(x_0) = f(-x_0)$, получаем $f(x) \le f(-x_0)$, что означает наличие локального максимума и в точке $-x_0$. Таким образом, если у чётной функции есть точка экстремума не в нуле, то у неё есть как минимум две точки экстремума.

Однако, если точка экстремума находится в точке $x_0 = 0$, то симметричная ей точка $-x_0$ совпадает с ней. В этом случае симметрия не приводит к появлению второй точки экстремума. Следовательно, чётная функция может иметь ровно одну точку экстремума, если эта точка — $x_0 = 0$.

Примером может служить функция $f(x) = x^2$. Эта функция является чётной, так как $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Её единственная точка экстремума — это точка минимума при $x=0$. Другой пример: $f(x) = \cos(x)$ на интервале $(-\pi, \pi)$ имеет единственный максимум в точке $x=0$.

Ответ: да, может.

б) нечётная функция;

Нечётной называется функция $f(x)$, для которой при любом $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Если $0$ входит в область определения нечётной функции, то $f(0)=0$.

Предположим, что нечётная функция имеет точку экстремума в точке $x_0 \neq 0$. Пусть это точка локального максимума. Это означает, что в некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Рассмотрим точку $-x_0$. Для любой точки $y$ из симметричной окрестности точки $-x_0$ можно записать $y = -x$, где $x$ находится в окрестности $x_0$. Используя свойство нечётности, имеем $f(y) = f(-x) = -f(x)$. Так как $f(x) \le f(x_0)$, то $-f(x) \ge -f(x_0)$. С учётом того, что $f(-x_0) = -f(x_0)$, получаем $f(y) \ge f(-x_0)$. Это означает, что точка $-x_0$ является точкой локального минимума.

Таким образом, если у нечётной функции есть точка экстремума $x_0 \neq 0$, то обязательно есть и вторая точка экстремума $-x_0$. Значит, количество точек экстремума (отличных от нуля) у нечётной функции должно быть чётным.

Может ли единственная точка экстремума быть в точке $x_0 = 0$? Допустим, $x_0=0$ — точка локального максимума. Тогда в некоторой окрестности нуля должно выполняться $f(x) \le f(0) = 0$. То есть для малых $x > 0$ имеем $f(x) \le 0$. Но так как функция нечётная, $f(-x) = -f(x) \ge 0$. Однако для максимума в нуле должно также выполняться $f(-x) \le 0$. Совмещение условий $f(-x) \ge 0$ и $f(-x) \le 0$ возможно только если $f(-x) = 0$, что влечет за собой $f(x)=0$ для всех $x$ в данной окрестности. В таком случае любая точка этой окрестности является точкой экстремума, а не одна-единственная точка. Если же функция не является тождественным нулём в окрестности начала координат, то точка $x=0$ не может быть точкой экстремума.

Следовательно, нечётная функция не может иметь ровно одну точку экстремума.

Ответ: нет, не может.

в) периодическая функция;

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Предположим, что периодическая функция $f(x)$ имеет ровно одну точку экстремума $x_0$. Пусть $T$ — её период. Так как $x_0$ — точка экстремума, то в этой точке функция достигает локального максимума или минимума. Допустим, это локальный максимум, то есть в некоторой окрестности точки $x_0$ выполнено $f(x) \le f(x_0)$.

Рассмотрим точку $x_1 = x_0 + T$. В силу периодичности $f(x_1) = f(x_0+T) = f(x_0)$. Для любой точки $y$ в окрестности $x_1$ можно записать $y = x+T$, где $x$ находится в окрестности $x_0$. Тогда $f(y) = f(x+T) = f(x)$. Так как $x$ находится в окрестности максимума $x_0$, то $f(x) \le f(x_0)$. Следовательно, $f(y) \le f(x_0) = f(x_1)$, что означает, что точка $x_1 = x_0+T$ также является точкой локального максимума.

Поскольку $T \neq 0$, точка $x_1$ отлична от $x_0$. Повторяя это рассуждение, мы обнаружим, что все точки вида $x_0 + nT$ (где $n$ — любое целое число) также являются точками экстремума. Таким образом, если у непериодической функции есть хотя бы одна точка экстремума, то их у неё бесконечно много. Исключение составляет постоянная функция $f(x)=c$, у которой каждая точка является точкой экстремума, но их не одна.

Следовательно, периодическая функция не может иметь ровно одну точку экстремума.

Ответ: нет, не может.

г) монотонная функция?

Функция называется монотонной, если она является либо неубывающей (если для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) \le f(x_2)$), либо невозрастающей (если для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) \ge f(x_2)$).

Строго монотонная функция (со строгими неравенствами в определении) не может иметь точек экстремума во внутренних точках области определения. Однако, точки экстремума могут существовать на границах области определения.

Рассмотрим монотонную функцию, определённую на множестве, которое является замкнутым с одной стороны, например, на луче $[a, \infty)$. Возьмем функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Её область определения — $[0, \infty)$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

Проверим наличие точек экстремума. На границе области определения в точке $x=0$ имеем $f(0)=0$. Для любой другой точки $x>0$ из области определения $f(x) = \sqrt{x} > 0 = f(0)$. Следовательно, точка $x=0$ является точкой глобального (а значит и локального) минимума.

Рассмотрим любую другую точку $x_0 > 0$. В любой её окрестности найдутся точки $x_1 < x_0$ и $x_2 > x_0$. Так как функция строго возрастает при $x > 0$, то $f(x_1) < f(x_0) < f(x_2)$. Это означает, что никакая другая точка $x_0 > 0$ не является точкой экстремума.

Таким образом, функция $f(x) = \sqrt{x}$ на области определения $[0, \infty)$ является монотонной и имеет ровно одну точку экстремума. Другим примером может служить функция $f(x) = e^x$ на области определения $(-\infty, 0]$. Она монотонно возрастает и имеет единственный экстремум (максимум) в точке $x=0$.

Ответ: да, может.