Номер 30.35, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.35, страница 119.

30.35 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$; точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

в) функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

г) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

Для построения эскиза графика функции, обладающей указанными свойствами, можно представить себе волнообразную кривую, ограниченную двумя горизонтальными линиями. Выполним построение по шагам:

1. Поскольку функция ограничена, ее график должен лежать между двумя горизонтальными прямыми. Например, между $y = -2$ и $y = 4$. Это означает, что для любого $x$ из области определения, значение функции $f(x)$ удовлетворяет неравенству $-2 \le f(x) \le 4$.
2. Функция имеет две точки максимума и одну точку минимума. Точки экстремума должны чередоваться. Таким образом, последовательность будет такой: максимум, затем минимум, затем снова максимум.
3. Выберем конкретные значения для точек экстремума. Пусть первая точка максимума будет в точке $x_1 = -3$ со значением $f(-3) = 3$. Вторая точка максимума — в точке $x_2 = 3$ со значением $f(3) = 3$. Точка минимума пусть будет между ними, в точке $x_3 = 0$ со значением $f(0) = 0$.
4. Теперь соединим эти точки плавной кривой. Слева, при $x \to -\infty$, функция может приближаться к какой-либо горизонтальной асимптоте, например $y=1$. При движении вправо функция возрастает до точки максимума $(-3, 3)$.
5. От точки максимума $(-3, 3)$ функция убывает до точки минимума $(0, 0)$.
6. От точки минимума $(0, 0)$ функция возрастает до второй точки максимума $(3, 3)$.
7. После второй точки максимума функция снова убывает и при $x \to +\infty$ может приближаться к той же или другой горизонтальной асимптоте, например $y=1$.

Полученный график напоминает букву "М", слегка сглаженную и расположенную между двумя горизонтальными линиями. Он имеет два пика (максимумы) и одну впадину (минимум) и не уходит на бесконечность, то есть является ограниченным.

Ответ: Эскиз представляет собой гладкую кривую, которая, например, при $x \to -\infty$ приближается к прямой $y=1$, достигает локального максимума в точке $(-3, 3)$, затем убывает до локального минимума в точке $(0, 0)$, возрастает до второго локального максимума в точке $(3, 3)$ и снова убывает, приближаясь к прямой $y=1$ при $x \to +\infty$. Весь график находится в полосе между $y=0$ и $y=3$.

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$; точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

Проанализируем свойства и построим эскиз графика:

1. Интервалы монотонности: функция возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, 5]$ и снова возрастает на $[5, \infty)$.
2. Поведение в точке $x=1$: слева от точки $x=1$ функция возрастает, а справа — убывает. Это означает, что в точке $x=1$ находится локальный максимум. Условие гласит, что это критическая точка. Критическая точка — это точка, где производная равна нулю или не существует. Чтобы показать случай, где производная не существует, можно нарисовать в этой точке "пик" или "угол".
3. Поведение в точке $x=5$: слева от точки $x=5$ функция убывает, а справа — возрастает. Это означает, что в точке $x=5$ находится локальный минимум. Условие гласит, что это стационарная точка, то есть производная в этой точке равна нулю ($f'(5) = 0$). Графически это означает, что в точке минимума касательная к графику горизонтальна, и кривая имеет гладкий изгиб.
4. Построим эскиз. Пусть функция начинается в левом нижнем углу и возрастает до точки $x=1$. Выберем координаты максимума, например, $(1, 4)$. Нарисуем в этой точке острый пик.
5. От точки максимума $(1, 4)$ функция убывает до точки $x=5$. Выберем координаты минимума, например, $(5, 1)$. В этой точке нарисуем гладкую впадину с горизонтальной касательной.
6. От точки минимума $(5, 1)$ функция возрастает и уходит в правый верхний угол.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, которая возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$, достигая максимума в точке $(1, 4)$ (в этой точке график имеет излом, "пик"). Затем функция убывает на промежутке $[1, 5]$ до точки минимума $(5, 1)$ (в этой точке график имеет гладкий изгиб с горизонтальной касательной). Наконец, на промежутке $[5, \infty)$ функция снова возрастает.

в) функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

Построим эскиз графика, удовлетворяющего данным условиям:

1. Разрыв в точке $x=-2$. Существуют разные типы разрывов. Наиболее наглядным является разрыв второго рода с вертикальной асимптотой. Нарисуем вертикальную прямую $x=-2$.
2. Зададим поведение функции около асимптоты. Например, пусть при приближении к $x=-2$ слева функция уходит на $+\infty$ ($\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$), а при приближении справа — на $-\infty$ ($\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$).
3. Максимум в точке $x=-1$. Справа от асимптоты ($x>-2$) функция "начинается" с $-\infty$ и должна возрасти до точки максимума. Пусть максимум будет в точке $(-1, 2)$.
4. Минимум в точке $x=1$. После максимума в точке $x=-1$ функция должна убывать до точки минимума. Пусть минимум будет в точке $(1, -1)$.
5. После точки минимума $x=1$ функция должна возрастать. Пусть она возрастает неограниченно при $x \to +\infty$.
6. Определим поведение функции слева от асимптоты ($x<-2$). Мы уже задали, что она уходит на $+\infty$ при $x \to -2^-$. При $x \to -\infty$ функция может, например, убывать с $+\infty$ или приближаться к какой-либо горизонтальной асимптоте. Для простоты можно нарисовать ветвь, приходящую из левого верхнего угла.

Ответ: Эскиз может выглядеть так: проведена вертикальная асимптота $x=-2$. Слева от асимптоты ($x<-2$) ветвь графика уходит вверх, стремясь к $+\infty$ при $x \to -2^-$. Справа от асимптоты ($x>-2$) ветвь графика выходит из $-\infty$, возрастает до точки локального максимума $(-1, 2)$, затем убывает до точки локального минимума $(1, -1)$, а после нее возрастает неограниченно при $x \to +\infty$.

г) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

Для построения эскиза графика с данными свойствами выполним следующие шаги:

1. Нарисуем горизонтальную асимптоту $y=3$. Это означает, что при $x \to \infty$ график функции будет неограниченно приближаться к этой прямой.
2. Функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Они должны располагаться при конечных значениях $x$. Рассмотрим случай, когда максимум находится левее минимума.
3. Выберем положение экстремумов. Пусть точка максимума будет $x_{max} = -1$, а точка минимума — $x_{min} = 2$.
4. Чтобы функция пришла к максимуму, она должна возрастать. Пусть при $x \to -\infty$ функция уходит на $-\infty$. Тогда она возрастает из $-\infty$ до точки максимума. Пусть это точка $(-1, 1)$.
5. От точки максимума $(-1, 1)$ функция убывает до точки минимума. Пусть это точка $(2, -2)$.
6. От точки минимума $(2, -2)$ функция должна возрастать. Поскольку при $x \to \infty$ она должна приближаться к $y=3$, она будет возрастать, приближаясь к этой прямой снизу.

Таким образом, график может пересекать свою горизонтальную асимптоту (в данном примере этого не происходит, но это возможно в другом варианте расположения экстремумов). Главное, что на бесконечности он к ней стремится.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, которая начинается в левой нижней части плоскости (стремится к $-\infty$ при $x \to -\infty$), возрастает до точки локального максимума, например, $(-1, 1)$, затем убывает до точки локального минимума, например, $(2, -2)$, и после этого снова возрастает, приближаясь снизу к горизонтальной асимптоте $y=3$ при $x \to \infty$.