Номер 31.3, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.3, страница 121.

Исследуйте функцию и постройте её график:

31.3 а) $y = 3x^2 - 4x + 5;$

б) $y = 3 + 2x - x^2;$

в) $y = 7 - x - 2x^2;$

г) $y = 5x^2 - 15x - 4.$

а) $y = 3x^2 - 4x + 5$

1. Область определения функции: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Описание графика: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ордината вершины: $y_v = y(\frac{2}{3}) = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{11}{3}$.
Координаты вершины: $(\frac{2}{3}, \frac{11}{3})$.
4. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = \frac{2}{3}$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
- С осью OX (при $y=0$): $3x^2 - 4x + 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.
6. Построение графика: Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(\frac{2}{3}, \frac{11}{3})$, точку пересечения с осью OY $(0, 5)$ и симметричную ей точку $(\frac{4}{3}, 5)$. Соединим эти точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 3x^2 - 4x + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{2}{3}, \frac{11}{3})$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии $x=\frac{2}{3}$. График пересекает ось OY в точке $(0, 5)$ и не пересекает ось OX.

б) $y = 3 + 2x - x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 2x + 3$.
1. Область определения функции: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Описание графика: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
Ордината вершины: $y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Координаты вершины: $(1, 4)$.
4. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = 1$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
- С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 2x + 3 = 0$ или $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Точки пересечения: $(3, 0)$ и $(-1, 0)$.
6. Построение графика: Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(1, 4)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(3, 0)$ и $(0, 3)$. Также можно отметить точку, симметричную $(0, 3)$ относительно оси $x=1$, это точка $(2, 3)$. Соединим эти точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 3 + 2x - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 4)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии $x=1$. График пересекает ось OY в точке $(0, 3)$ и ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

в) $y = 7 - x - 2x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $y = -2x^2 - x + 7$.
1. Область определения функции: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Описание графика: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{4}$.
Ордината вершины: $y_v = y(-\frac{1}{4}) = -2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 7 = -2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 7 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{56}{8} = \frac{57}{8} = 7.125$.
Координаты вершины: $(-\frac{1}{4}, \frac{57}{8})$.
4. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = -\frac{1}{4}$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = -2 \cdot 0^2 - 0 + 7 = 7$. Точка $(0, 7)$.
- С осью OX (при $y=0$): $-2x^2 - x + 7 = 0$ или $2x^2 + x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}$.
Точки пересечения: $(\frac{-1 - \sqrt{57}}{4}, 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{57}}{4}, 0)$. (Приблизительно $(-2.14, 0)$ и $(1.64, 0)$).
6. Построение графика: Отметим вершину $(-\frac{1}{4}, \frac{57}{8})$, точки пересечения с осями $(0, 7)$, $(\frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}, 0)$ и точку, симметричную $(0, 7)$ относительно оси $x = -1/4$, т.е. точку $(-\frac{1}{2}, 7)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 7 - x - 2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{4}, \frac{57}{8})$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии $x=-\frac{1}{4}$. График пересекает ось OY в точке $(0, 7)$ и ось OX в точках $(\frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}, 0)$.

г) $y = 5x^2 - 15x - 4$

1. Область определения функции: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Описание графика: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=5$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ордината вершины: $y_v = y(\frac{3}{2}) = 5(\frac{3}{2})^2 - 15(\frac{3}{2}) - 4 = 5(\frac{9}{4}) - \frac{45}{2} - 4 = \frac{45}{4} - \frac{90}{4} - \frac{16}{4} = -\frac{61}{4} = -15.25$.
Координаты вершины: $(\frac{3}{2}, -\frac{61}{4})$.
4. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = \frac{3}{2}$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- С осью OX (при $y=0$): $5x^2 - 15x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 225 + 80 = 305$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{305}}{10}$.
Точки пересечения: $(\frac{15 - \sqrt{305}}{10}, 0)$ и $(\frac{15 + \sqrt{305}}{10}, 0)$. (Приблизительно $(-0.25, 0)$ и $(3.25, 0)$).
6. Построение графика: Отметим вершину $(\frac{3}{2}, -\frac{61}{4})$, точки пересечения с осями $(0, -4)$, $(\frac{15 \pm \sqrt{305}}{10}, 0)$ и точку, симметричную $(0, -4)$ относительно оси $x = 1.5$, т.е. точку $(3, -4)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 5x^2 - 15x - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{3}{2}, -\frac{61}{4})$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии $x=\frac{3}{2}$. График пересекает ось OY в точке $(0, -4)$ и ось OX в точках $(\frac{15 \pm \sqrt{305}}{10}, 0)$.