Номер 30.27, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.27, страница 117.

30.27 a) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 - 3x^2 + 7$ возрастает в интервале $(a - 1; a + 1)$?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает в интервале $\left(a; a + \frac{1}{2}\right)$?

а)

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 - 3x^2 + 7$ возрастает, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная неотрицательна.

1. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:
$y' = (2x^3 - 3x^2 + 7)' = 6x^2 - 6x$

2. Функция возрастает на интервале, где ее производная $y' \ge 0$. Решим это неравенство:
$6x^2 - 6x \ge 0$
$6x(x - 1) \ge 0$

Корнями уравнения $6x(x - 1) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; \infty)$.

3. Согласно условию задачи, функция должна возрастать в интервале $(a - 1; a + 1)$. Это означает, что данный интервал должен полностью входить в один из найденных промежутков возрастания.

Рассмотрим два возможных случая:
Случай 1: Интервал $(a - 1; a + 1)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; 0]$.
Это будет так, если правая граница интервала $(a - 1; a + 1)$ меньше или равна 0:
$a + 1 \le 0$
$a \le -1$

Случай 2: Интервал $(a - 1; a + 1)$ полностью содержится в промежутке $[1; \infty)$.
Это будет так, если левая граница интервала $(a - 1; a + 1)$ больше или равна 1:
$a - 1 \ge 1$
$a \ge 2$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что требуемые значения параметра $a$ принадлежат объединению множеств $(-\infty; -1] \cup [2; \infty)$.

Ответ: $a \le -1$ или $a \ge 2$.

б)

Чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная неположительна.

1. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:
$y' = (-x^3 + 3x + 5)' = -3x^2 + 3$

2. Функция убывает на интервале, где ее производная $y' \le 0$. Решим это неравенство:
$-3x^2 + 3 \le 0$
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 1 \ge 0$
$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Корнями уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; \infty)$.

3. По условию, функция должна убывать в интервале $(a; a + \frac{1}{2})$. Это означает, что данный интервал должен полностью входить в один из найденных промежутков убывания.

Рассмотрим два возможных случая:
Случай 1: Интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; -1]$.
Это будет так, если правая граница интервала, $a + \frac{1}{2}$, меньше или равна -1:
$a + \frac{1}{2} \le -1$
$a \le -1 - \frac{1}{2}$
$a \le -\frac{3}{2}$

Случай 2: Интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ полностью содержится в промежутке $[1; \infty)$.
Это будет так, если левая граница интервала, $a$, больше или равна 1:
$a \ge 1$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что требуемые значения параметра $a$ принадлежат объединению множеств $(-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [1; \infty)$.

Ответ: $a \le -\frac{3}{2}$ или $a \ge 1$.