Номер 30.24, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.24, страница 117.

При каких значениях параметра a функция возрастает на всей числовой прямой:

30.24 a) $y = x^3 + ax$;

б) $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3?$;

Условие возрастания дифференцируемой функции на всей числовой прямой — это неотрицательность ее производной для всех действительных значений аргумента. То есть, $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

а) $y = x^3 + ax$

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + ax)' = 3x^2 + a$.

2. Производная должна быть неотрицательной для всех $x$:

$3x^2 + a \ge 0$

Это квадратичная функция относительно $x$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0). Парабола будет лежать не ниже оси абсцисс, если она имеет не более одной точки пересечения с ней. Это условие выполняется, если дискриминант соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 0 \cdot x + a = 0$ меньше или равен нулю.

3. Вычислим дискриминант $D$:

$D = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = -12a$.

4. Решим неравенство $D \le 0$:

$-12a \le 0$

Разделив обе части на -12 (и изменив знак неравенства), получим:

$a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$, или $a \in [0; +\infty)$.

б) $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3$

1. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - a \cdot 2x + 5 = x^2 - 2ax + 5$.

2. Производная должна быть неотрицательной для всех $x$:

$x^2 - 2ax + 5 \ge 0$

Выражение слева является квадратным трехчленом. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, парабола должна располагаться не ниже оси абсцисс, то есть иметь не более одной общей точки с ней. Это означает, что дискриминант квадратного уравнения $x^2 - 2ax + 5 = 0$ должен быть меньше или равен нулю.

3. Вычислим дискриминант. Удобно использовать "приведенный" дискриминант $D/4$ (или $D_1$):

$D/4 = (-a)^2 - 1 \cdot 5 = a^2 - 5$.

4. Решим неравенство $D/4 \le 0$:

$a^2 - 5 \le 0$

$a^2 \le 5$

Это неравенство эквивалентно системе:

$|a| \le \sqrt{5}$

что дает

$-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$.

Ответ: $a \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.