Номер 30.19, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.19, страница 116.

30.19 a) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ возрастает на $(-\infty; +\infty);$

б) $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ возрастает на $(-\infty; +\infty).$

а) Чтобы доказать, что функция $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна (а в данном случае, строго положительна) для всех значений $x$.

Функция является дифференцируемой на всей числовой прямой. Найдем ее производную:

$y' = (2x^3 + 2x^2 + 11x - 35)' = 2 \cdot (x^3)' + 2 \cdot (x^2)' + 11 \cdot (x)' - (35)' = 2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 11 \cdot 1 - 0 = 6x^2 + 4x + 11$.

Теперь исследуем знак производной $y' = 6x^2 + 4x + 11$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Старший коэффициент $a = 6$ положителен ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем дискриминант квадратного трехчлена $6x^2 + 4x + 11$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 6 \cdot 11 = 16 - 264 = -248$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a > 0$, квадратный трехчлен $6x^2 + 4x + 11$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, $y'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку производная функции строго положительна на всей числовой прямой, функция $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ строго возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Аналогично предыдущему пункту, чтобы доказать, что функция $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, найдем ее производную и исследуем ее знак.

Функция является дифференцируемой на всей числовой прямой. Найдем ее производную:

$y' = (3x^3 - 6x^2 + 41x - 137)' = 3 \cdot (x^3)' - 6 \cdot (x^2)' + 41 \cdot (x)' - (137)' = 3 \cdot 3x^2 - 6 \cdot 2x + 41 \cdot 1 - 0 = 9x^2 - 12x + 41$.

Исследуем знак производной $y' = 9x^2 - 12x + 41$. Это квадратичная функция с параболой, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 9$ положителен ($a > 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $9x^2 - 12x + 41$:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 41 = 144 - 36 \cdot 41 = 144 - 1476 = -1332$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a > 0$, квадратный трехчлен $9x^2 - 12x + 41$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, $y'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку производная функции строго положительна на всей числовой прямой, функция $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ строго возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.