Номер 30.17, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.17, страница 116.

Докажите, что функция:

30.17 а) $y = x^5 + 3x - 6$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 15 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^3}$ возрастает на $(-\infty; 0)$;

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

г) $y = 21x - \frac{1}{x^5}$ возрастает на $(0; +\infty)$.

а) Для того чтобы доказать, что функция возрастает на заданном интервале, необходимо найти ее производную и показать, что она положительна (или неотрицательна) на этом интервале.Дана функция $y = x^5 + 3x - 6$.Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную функции:$y' = (x^5 + 3x - 6)' = (x^5)' + (3x)' - (6)' = 5x^4 + 3$.Теперь проанализируем знак производной на интервале $(-\infty; +\infty)$.Для любого действительного числа $x$, выражение $x^4$ является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$.Следовательно, $5x^4 \ge 0$.Тогда $y' = 5x^4 + 3 \ge 0 + 3 = 3$.Поскольку производная $y' = 5x^4 + 3$ строго больше нуля ($y' > 0$) для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $y = x^5 + 3x - 6$ строго возрастает на всей числовой прямой, что и требовалось доказать.Ответ: Доказано, что функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, так как ее производная $y' = 5x^4 + 3$ положительна на этом интервале.

б) Дана функция $y = 15 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^3}$.Область определения функции — $x \ne 0$. Мы рассматриваем интервал $(-\infty; 0)$, который входит в область определения.Для удобства дифференцирования перепишем функцию в виде $y = 15 - 2x^{-1} - x^{-3}$.Найдем производную функции:$y' = (15 - 2x^{-1} - x^{-3})' = (15)' - (2x^{-1})' - (x^{-3})' = 0 - 2(-1)x^{-2} - (-3)x^{-4} = 2x^{-2} + 3x^{-4}$.Перепишем производную в виде дроби: $y' = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$.Проанализируем знак производной на интервале $(-\infty; 0)$.Для любого $x \in (-\infty; 0)$, $x$ — отрицательное число.Однако, $x^2$ (квадрат любого ненулевого числа) всегда положителен, и $x^4$ (четвертая степень любого ненулевого числа) также всегда положителен.Таким образом, оба слагаемых в выражении для производной положительны: $\frac{2}{x^2} > 0$ и $\frac{3}{x^4} > 0$.Сумма двух положительных чисел всегда положительна, поэтому $y' > 0$ для всех $x \in (-\infty; 0)$.Так как производная функции положительна на интервале $(-\infty; 0)$, функция возрастает на этом интервале, что и требовалось доказать.Ответ: Доказано, что функция возрастает на $(-\infty; 0)$, так как ее производная $y' = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$ положительна на этом интервале.

в) Дана функция $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$.Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную функции:$y' = (x^7 + 7x^3 + 2x - 42)' = (x^7)' + (7x^3)' + (2x)' - (42)' = 7x^6 + 7 \cdot 3x^2 + 2 - 0 = 7x^6 + 21x^2 + 2$.Проанализируем знак производной на интервале $(-\infty; +\infty)$.Для любого действительного числа $x$, выражения $x^6$ и $x^2$ являются неотрицательными, так как любое число в четной степени неотрицательно: $x^6 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.Следовательно, $7x^6 \ge 0$ и $21x^2 \ge 0$.Тогда $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$.Поскольку производная $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2$ строго больше нуля ($y' > 0$) для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$ строго возрастает на всей числовой прямой, что и требовалось доказать.Ответ: Доказано, что функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, так как ее производная $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2$ положительна на этом интервале.

г) Дана функция $y = 21x - \frac{1}{x^5}$.Область определения функции — $x \ne 0$. Мы рассматриваем интервал $(0; +\infty)$, который входит в область определения.Для удобства дифференцирования перепишем функцию в виде $y = 21x - x^{-5}$.Найдем производную функции:$y' = (21x - x^{-5})' = (21x)' - (x^{-5})' = 21 - (-5)x^{-6} = 21 + 5x^{-6}$.Перепишем производную в виде дроби: $y' = 21 + \frac{5}{x^6}$.Проанализируем знак производной на интервале $(0; +\infty)$.Для любого $x \in (0; +\infty)$, $x$ — положительное число.Тогда $x^6$ также является положительным числом, и, следовательно, дробь $\frac{5}{x^6}$ положительна.Сумма положительного числа 21 и положительного числа $\frac{5}{x^6}$ всегда положительна, поэтому $y' > 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$.Так как производная функции положительна на интервале $(0; +\infty)$, функция возрастает на этом интервале, что и требовалось доказать.Ответ: Доказано, что функция возрастает на $(0; +\infty)$, так как ее производная $y' = 21 + \frac{5}{x^6}$ положительна на этом интервале.